LGS Anzahl der Lösungen bestimmen einfach erklärt: So geht's

Stell dir vor, du bist ein Detektiv und löst einen Fall. Manchmal führen alle Hinweise zu genau einem Verdächtigen. Manchmal widersprechen sich die Hinweise komplett und es gibt gar keinen Verdächtigen. Und manchmal ist der Fall so offen, dass unendlich viele Personen in Frage kommen! Genau so verhält es sich, wenn wir bei einem LGS die Anzahl der Lösungen bestimmen wollen. Bisher hatten unsere Gleichungen immer genau eine perfekte Lösung. Aber in der Mathematik kann es auch passieren, dass ein lineares Gleichungssystem gar keine Lösung oder sogar unendlich viele Lösungen hat. Wir schauen uns jetzt an, wie du diese Fälle mit dem Einsetzungsverfahren erkennst und wie du sogar selbst den Spielleiter spielen kannst, indem du Gleichungen absichtlich unlösbar machst!

Vorwissen

• Einsetzungsverfahren: Man formt eine Gleichung nach einer Variablen um und setzt diesen Term in die andere Gleichung ein. Beispiel: Wenn $y = 2x$ ist, wird aus der Gleichung $x + y = 6$ durch Einsetzen $x + 2x = 6$.
• Ausklammern: Wenn eine Variable in mehreren Teilen einer Rechnung vorkommt, kann man sie vor eine Klammer ziehen. Beispiel: $5x - 3x = (5 - 3) \cdot x = 2x$.

Aufgabentyp 1: Die drei möglichen Ergebnisse eines LGS

Wenn wir ein Lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen, versuchen wir am Ende eine Variable (z.B. $x$) auszurechnen. Dabei können genau drei Dinge passieren:

Fall 1: Genau eine Lösung Du rechnest ganz normal und erhältst am Ende einen klaren Wert, zum Beispiel $x = 2$. Das bedeutet, die beiden Linien des Gleichungssystems schneiden sich in genau einem Punkt.

Fall 2: Keine Lösung Beim Rechnen verschwinden plötzlich alle Variablen (z.B. $x - x = 0$) und es bleibt eine falsche Aussage stehen, wie zum Beispiel $0 = 5$. Da Null niemals Fünf ist, ist das unmöglich. Das bedeutet, das LGS hat keine Lösung. Geometrisch sind das zwei parallele Linien, die sich nie treffen.

Fall 3: Unendlich viele Lösungen Auch hier verschwinden alle Variablen, aber es bleibt eine wahre Aussage stehen, wie zum Beispiel $4 = 4$. Da Vier immer Vier ist, stimmt die Gleichung immer. Das bedeutet, die beiden Linien liegen exakt aufeinander.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Forme eine der beiden Gleichungen nach $x$ oder $y$ um.
2. Setze den Term in die andere Gleichung ein und löse sie so weit wie möglich auf.
3. Interpretiere das Ergebnis: Ein Wert bedeutet eine Lösung, eine falsche Aussage keine Lösung, eine wahre Aussage unendlich viele Lösungen.
4. Berechne die zweite Variable, falls du in Schritt 3 einen genauen Wert gefunden hast.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Mit einem Parameter die Lösung manipulieren

Manchmal taucht in einem LGS plötzlich ein fremder Buchstabe auf, zum Beispiel ein $\textcolor{#08BFFF}{k}$. Das nennt man einen Parameter.

Ein Parameter ist keine echte Variable wie $x$ oder $y$, die wir suchen. Ein Parameter ist ein Platzhalter für eine feste Zahl. Du kannst dir vorstellen, dass du der Spielleiter bist und dir eine Zahl für $\textcolor{#08BFFF}{k}$ aussuchen darfst.

Oft lautet die Aufgabe: „Finde eine Zahl für $\textcolor{#08BFFF}{k}$, sodass das LGS keine Lösung hat.“

Wie machen wir das? Wir wollen absichtlich eine falsche Aussage erzeugen (wie $0 = 1$). Dafür nutzen wir einen Trick:

1. Wir rechnen ganz normal und behandeln $\textcolor{#08BFFF}{k}$ einfach wie eine Zahl.
2. Wir sortieren alle Terme mit $x$ auf eine Seite.
3. Wir klammern das x aus.

Wenn wir am Ende zum Beispiel $(\textcolor{#08BFFF}{k} - 9) \cdot \textcolor{#9570FF}{x} = 1$ dastehen haben, überlegen wir: Was muss $\textcolor{#08BFFF}{k}$ sein, damit die Klammer zu $0$ wird? Wenn $\textcolor{#08BFFF}{k} = 9$ ist, steht dort $0 \cdot \textcolor{#9570FF}{x} = 1$. Da $0$ mal irgendwas immer $0$ ergibt, steht dort $0 = 1$. Das ist falsch, und wir haben unser Ziel erreicht: Das LGS hat keine Lösung!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Forme eine Gleichung um und setze sie in die andere ein. Behandle den Parameter dabei wie eine Zahl.
2. Bringe alle Terme mit $x$ auf die linke Seite und klammere das $x$ aus.
3. Überlege, welche Zahl du für den Parameter einsetzen musst, damit die Klammer exakt $0$ ergibt.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Lösung: Du kannst am Ende einen genauen Wert berechnen (z.B. $x = 2$).
• Keine Lösung: Die Variablen verschwinden und es bleibt eine falsche Aussage (z.B. $0 = 5$).
• Unendlich viele Lösungen: Die Variablen verschwinden und es bleibt eine wahre Aussage (z.B. $4 = 4$).
• Parameter-Trick: Um ein LGS unlösbar zu machen, klammere das $x$ aus und wähle den Parameter so, dass die Klammer vor dem $x$ genau $0$ ergibt.