Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) und wie viele Lösungen kann es haben?

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen, die zusammengehören. Wenn du ein LGS löst, suchst du nach Zahlenpaaren, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen : genau eine Lösung (die Geraden schneiden sich), keine Lösung (die Geraden sind parallel) oder unendlich viele Lösungen (die Geraden sind identisch).

Wie bestimmst du die Anzahl der Lösungen mit dem Additionsverfahren?

Beim Additionsverfahren addierst du beide Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt. Bleibt eine eindeutig lösbare Gleichung (z. B. 9x = 9 ) übrig, gibt es genau eine Lösung . Fallen beide Variablen weg und es entsteht ein Widerspruch (z. B. 0 = 5 ), gibt es keine Lösung . Entsteht eine wahre Aussage (z. B. 0 = 0 ), hat das LGS unendlich viele Lösungen .

Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?

Ein LGS hat unendlich viele Lösungen , wenn beide Gleichungen im Grunde dieselbe Information enthalten. Grafisch bedeutet das, dass die beiden Geraden aufeinanderliegen. Wenn du das Additionsverfahren anwendest, fallen beide Variablen weg und es bleibt eine wahre Aussage wie 0 = 0 übrig. Jede Lösung der einen Gleichung ist dann automatisch auch eine Lösung der anderen.

LGS Anzahl der Lösungen (Additionsverfahren)

Q: Wie gehst du vor, wenn das LGS einen Parameter enthält?

Wenn das LGS einen Parameter (wie a oder k ) enthält, behandelst du ihn beim Additionsverfahren wie eine ganz normale Zahl. Am Ende erhältst du eine Gleichung, die vom Parameter abhängt (z. B. 0 = a + 3 ). Soll das LGS unendlich viele Lösungen haben, setzt du die Gleichung auf 0 = 0 . Für keine Lösung sorgst du dafür, dass ein Widerspruch entsteht.

Stell dir vor, du bist ein Detektiv. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist wie ein Fall mit zwei Hinweisen (den Gleichungen). Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, wie viele Verdächtige (Lösungen) es gibt, indem du die Anzahl der Lösungen bestimmst.

Manchmal führen alle Spuren zu genau einer Person – eine Lösung. Manchmal widersprechen sich die Hinweise komplett – keine Lösung. Und manchmal beschreiben beide Hinweise dieselbe Person, was bedeutet, es gibt unendlich viele Möglichkeiten – unendlich viele Lösungen.

Das Additionsverfahren ist dein cleverstes Werkzeug, um diese Fälle zu knacken. Es ist ein systematischer Trick, um schnell und ohne Raten herauszufinden, welches Szenario vorliegt. Beherrsche dieses Werkzeug, und du löst diese Mathe-Rätsel im Handumdrehen – ein Muss für jede Klassenarbeit!

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Lineares Gleichungssystem (LGS): Das sind zwei oder mehr lineare Gleichungen, die zusammengehören. Wir suchen Zahlenpaare (x|y), die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
- Beispiel: $I: x + y = 3$ $II: 2x - y = 0$
Additionsverfahren (Grundidee): Die Idee ist, die beiden Gleichungen so zu addieren, dass eine der Variablen (x oder y) wegfällt. Dafür müssen ihre Koeffizienten (die Zahlen davor) Gegenzahlen sein (z.B. +3y und -3y).
- Beispiel: Addiert man die Gleichungen $x + y = 5$ und $x - y = 1$ , erhält man $2x = 6$ . Das $y$ ist weggefallen.
Äquivalenzumformung: Du darfst eine Gleichung verändern, solange du auf beiden Seiten dasselbe tust (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren). Der Wahrheitsgehalt der Gleichung ändert sich nicht.
- Beispiel: $3x = 9$ ist äquivalent zu $x = 3$ (beide Seiten durch 3 geteilt).

Aufgabentyp 1: Genau eine Lösung bestimmen

Der häufigste Fall ist, dass ein LGS genau eine Lösung hat. Das bedeutet, es gibt exakt ein Zahlenpaar $(x|y)$ , das beide Gleichungen erfüllt. Grafisch gesehen schneiden sich die beiden Geraden, die zu den Gleichungen gehören, in genau einem Punkt.

Beim Additionsverfahren erkennst du diesen Fall daran, dass nach der Addition eine Gleichung mit nur noch einer Variablen übrig bleibt, die du eindeutig auflösen kannst (z.B. $9x = 9$ oder $-5y = 10$ ).

Zwei sich schneidende Geraden im Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Gleichungen vorbereiten Schau dir die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) an. Wähle eine Variable (z.B. y), die du eliminieren möchtest. Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass die Koeffizienten dieser Variable zu Gegenzahlen werden (z.B. $-3y$ und $+3y$ ).
Schritt 2: Gleichungen addieren Addiere die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten und die rechte Seite der ersten zur rechten Seite der zweiten. Die Variable, die du in Schritt 1 vorbereitet hast, sollte nun wegfallen.
Schritt 3: Erste Variable ausrechnen Löse die neue, einfachere Gleichung nach der verbliebenen Variablen auf. Du erhältst einen konkreten Wert (z.B. $x = 1$ ).
Schritt 4: Zweite Variable ausrechnen Setze den eben berechneten Wert in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein. Löse diese Gleichung nach der zweiten Variablen auf.
Schritt 5: Lösung angeben Das LGS hat genau eine Lösung. Gib sie als Zahlenpaar $(x|y)$ oder als Lösungsmenge $L = \{(x|y)\}$ an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems: (I) 6x - 3y = 8 (II) 1,5x + 1,5y = 0,5

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen die Variable y eliminieren. In Gleichung (I) haben wir $-3y$ . Wir wollen in Gleichung (II) den Gegenzahl-Koeffizienten, also $+3y$ , erreichen. Dafür müssen wir Gleichung (II) mit 2 multiplizieren. $(II) \ 1,5x + 1,5y = 0,5 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(II') \ 3x + 3y = 1$
Schritt 2
Gleichungen addieren
Jetzt addieren wir Gleichung (I) und die neue Gleichung (II'). $(I) + (II'): (6x - 3y) + (3x + 3y) = 8 + 1$ $9x = 9$
Schritt 3
Erste Variable ausrechnen
Wir lösen die Ergebnisgleichung nach x auf. $9x = 9 \ | : 9$ $x = 1$
Schritt 4
Zweite Variable ausrechnen
Wir setzen $x=1$ in die ursprüngliche Gleichung (II) ein. $1,5 \cdot (1) + 1,5y = 0,5$ $1,5 + 1,5y = 0,5 \ | -1,5$ $1,5y = -1$ $1,5y = -1 \ | : 1,5$ $y = -\frac{1}{1,5} = -\frac{2}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösung angeben
Wir haben für x und y jeweils einen eindeutigen Wert erhalten.

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung: $(1 | -\frac{2}{3})$ .

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Quizfrage 1 zu LGS Anzahl der Lösungen (Additionsverfahren)

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit beim Additionsverfahren eine Variable wegfällt?

Quizfrage 2 zu LGS Anzahl der Lösungen (Additionsverfahren)

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Woran erkennt man beim Additionsverfahren, dass ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung hat?

Übungsaufgabe zu LGS Anzahl der Lösungen (Additionsverfahren)

Nur mit Account

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Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des LGS: (I) 2x + 4y = 10 (II) 3x - 2y = 1

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen y eliminieren. In (I) steht $+4y$ . Um in (II) $-4y$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (II) mit 2. $(II) \ 3x - 2y = 1 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(II') \ 6x - 4y = 2$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II'): (2x + 4y) + (6x - 4y) = 10 + 2$ $8x = 12$
Schritt 3
Erste Variable ausrechnen
$8x = 12 \ | : 8$ $x = \frac{12}{8} = 1,5$
Schritt 4
Zweite Variable ausrechnen
Wir setzen $x=1,5$ in Gleichung (I) ein. $2 \cdot (1,5) + 4y = 10$ $3 + 4y = 10 \ | -3$ $4y = 7 \ | : 4$ $y = \frac{7}{4} = 1,75$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösung angeben
Wir haben die Werte erfolgreich berechnet.

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung: $(1,5 | 1,75)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Wie viele Lösungen hat das folgende LGS? (I) 5x + 3y = 9 (II) 2x - y = 8

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren y. In (I) steht $+3y$ . Um in (II) $-3y$ zu bekommen, multiplizieren wir Gleichung (II) mit 3. $(II) \ 2x - y = 8 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{3}$ $(II') \ 6x - 3y = 24$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II'): (5x + 3y) + (6x - 3y) = 9 + 24$ $11x = 33$
Schritt 3
Erste Variable ausrechnen
$11x = 33 \ | : 11$ $x = 3$
Schritt 4
Zweite Variable ausrechnen
Wir setzen $x=3$ in die einfache Gleichung (II) ein. $2 \cdot (3) - y = 8$ $6 - y = 8 \ | -6$ $-y = 2 \ | \cdot (-1)$ $y = -2$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösung angeben
Wir haben die Werte erfolgreich berechnet.

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung: $(3 | -2)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen für das LGS: (I) -x + 2y = 5 (II) 4x + 3y = -8

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Diesmal eliminieren wir x. In (II) steht $+4x$ . Um in (I) $-4x$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I) mit 4. $(I) \ -x + 2y = 5 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{4}$ $(I') \ -4x + 8y = 20$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I') + (II): (-4x + 8y) + (4x + 3y) = 20 + (-8)$ $11y = 12$
Schritt 3
Erste Variable ausrechnen
$11y = 12 \ | : 11$ $y = \frac{12}{11}$
Schritt 4
Zweite Variable ausrechnen
Wir setzen $y=\frac{12}{11}$ in Gleichung (I) ein. $-x + 2 \cdot (\frac{12}{11}) = 5$ $-x + \frac{24}{11} = 5 \ | - \frac{24}{11}$ $-x = 5 - \frac{24}{11} = \frac{55}{11} - \frac{24}{11} = \frac{31}{11}$ $x = -\frac{31}{11}$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösung angeben
Wir haben die Werte erfolgreich berechnet.

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung: $(-\frac{31}{11} | \frac{12}{11})$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ermittle die Lösungsanzahl für: (I) 0,5x + 0,2y = 2 (II) 1,5x - 0,4y = 1

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren y. In (II) steht $-0,4y$ . Um in (I) $+0,4y$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I) mit 2. $(I) \ 0,5x + 0,2y = 2 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(I') \ x + 0,4y = 4$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I') + (II): (x + 0,4y) + (1,5x - 0,4y) = 4 + 1$ $2,5x = 5$
Schritt 3
Erste Variable ausrechnen
$2,5x = 5 \ | : 2,5$ $x = 2$
Schritt 4
Zweite Variable ausrechnen
Wir setzen $x=2$ in die umgeformte Gleichung (I') ein. $2 + 0,4y = 4 \ | -2$ $0,4y = 2 \ | : 0,4$ $y = 5$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösung angeben
Wir haben die Werte erfolgreich berechnet.

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung: $(2 | 5)$ .

Aufgabentyp 2: Keine Lösung bestimmen

Manchmal hat ein LGS auch keine Lösung. Das passiert, wenn sich die beiden Gleichungen widersprechen. Grafisch bedeutet das, dass die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen und sich niemals schneiden.

Beim Additionsverfahren erkennst du diesen Fall daran, dass nach der Addition beide Variablen wegfallen und eine falsche Aussage übrig bleibt, zum Beispiel $0 = -3$ oder $0 = 5$ . So ein Ergebnis ist ein mathematischer Widerspruch.

Zwei parallele Geraden im Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Gleichungen vorbereiten Wähle eine Variable (z.B. y) und multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten dieser Variable zu Gegenzahlen werden (z.B. $-12y$ und $+12y$ ).
Schritt 2: Gleichungen addieren Addiere die beiden Gleichungen. Du wirst feststellen, dass nicht nur die vorbereitete Variable, sondern beide Variablen wegfallen.
Schritt 3: Ergebnis analysieren Auf der linken Seite der Gleichung steht nun eine 0. Auf der rechten Seite steht eine Zahl, die nicht 0 ist. Du erhältst eine falsche Aussage (einen Widerspruch), z.B. $0 = -3$ .
Schritt 4: Schlussfolgerung ziehen Da die Rechnung zu einem Widerspruch führt, gibt es kein Zahlenpaar $(x|y)$ , das beide Gleichungen erfüllen kann. Das LGS hat keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: $L = \{\}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems: (I) 1,5x - 12y = 0 (II) -3/2x + 12y = -3

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen die Variable y eliminieren. In Gleichung (I) haben wir $-12y$ und in Gleichung (II) $+12y$ . Die Koeffizienten sind bereits Gegenzahlen. Wir müssen nichts weiter vorbereiten. (Beachte auch, dass $1,5x$ und $-\frac{3}{2}x$ ebenfalls Gegenzahlen sind).
Schritt 2
Gleichungen addieren
Wir addieren die beiden Gleichungen direkt. $(I) + (II): (1,5x - 12y) + (-\frac{3}{2}x + 12y) = 0 + (-3)$ $1,5x - 1,5x - 12y + 12y = -3$ $0 = -3$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = -3$ ist offensichtlich falsch.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da wir einen Widerspruch erhalten haben, können wir die Lösungsmenge bestimmen.

Ergebnis:

Da wir einen Widerspruch erhalten haben, hat das LGS keine Lösung.

Beispiel 1

Aufgabe

Wie viele Lösungen hat das LGS? (I) 2x - y = 5 (II) -4x + 2y = 2

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren x. In (II) steht $-4x$ . Um in (I) $+4x$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I) mit 2. $(I) \ 2x - y = 5 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(I') \ 4x - 2y = 10$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I') + (II): (4x - 2y) + (-4x + 2y) = 10 + 2$ $4x - 4x - 2y + 2y = 12$ $0 = 12$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 12$ ist ein Widerspruch.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus dem Widerspruch.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Lösungsanzahl für: (I) x + y = 3 (II) x + y = 4

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren x. Wir multiplizieren Gleichung (II) mit -1, um Gegenzahlen zu erhalten. $(II) \ x + y = 4 \ | \cdot (\textcolor{#53E5D6}{-1})$ $(II') \ -x - y = -4$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II'): (x + y) + (-x - y) = 3 + (-4)$ $x - x + y - y = -1$ $0 = -1$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = -1$ ist falsch.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus dem Widerspruch.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle die Anzahl der Lösungen: (I) 6x - 9y = 12 (II) -2x + 3y = 0

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren x. In (I) steht $6x$ . Um in (II) $-6x$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (II) mit 3. $(II) \ -2x + 3y = 0 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{3}$ $(II') \ -6x + 9y = 0$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II'): (6x - 9y) + (-6x + 9y) = 12 + 0$ $6x - 6x - 9y + 9y = 12$ $0 = 12$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 12$ ist ein Widerspruch.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus dem Widerspruch.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen für das LGS: (I) y = 0,5x + 2 (II) 2y - x = 2

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Zuerst bringen wir beide Gleichungen in die gleiche Form (ax + by = c). (I) y = 0,5x + 2 \ | -0,5x (I') -0,5x + y = 2 (II) -x + 2y = 2 (Reihenfolge getauscht) Wir eliminieren y. In (II) steht $2y$ . Um in (I') $-2y$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I') mit -2. $(I') \ -0,5x + y = 2 \ | \cdot (\textcolor{#53E5D6}{-2})$ $(I'') \ x - 2y = -4$
Schritt 2
Gleichungen addieren
Wir addieren (I'') und die ursprüngliche Gleichung (II). $(I'') + (II): (x - 2y) + (-x + 2y) = -4 + 2$ $x - x - 2y + 2y = -2$ $0 = -2$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = -2$ ist falsch.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus dem Widerspruch.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Aufgabentyp 3: Unendlich viele Lösungen bestimmen

Der dritte Fall ist, dass ein LGS unendlich viele Lösungen hat. Das passiert, wenn beide Gleichungen im Grunde dieselbe Information enthalten (eine Gleichung ist nur ein Vielfaches der anderen). Grafisch bedeutet das, dass beide Geraden identisch sind und aufeinander liegen.

Beim Additionsverfahren erkennst du diesen Fall daran, dass nach der Addition beide Variablen wegfallen und eine wahre Aussage übrig bleibt, zum Beispiel $0 = 0$ . Das bedeutet, dass jede Lösung der einen Gleichung automatisch auch eine Lösung der anderen ist.

Zwei identische Geraden im Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Gleichungen vorbereiten Wähle eine Variable (z.B. x) und multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten dieser Variable zu Gegenzahlen werden (z.B. $2x$ und $-2x$ ).
Schritt 2: Gleichungen addieren Addiere die beiden Gleichungen. Du wirst feststellen, dass beide Variablen wegfallen.
Schritt 3: Ergebnis analysieren Auf der linken Seite der Gleichung steht nun eine 0. Auf der rechten Seite steht ebenfalls eine 0. Du erhältst eine wahre Aussage, nämlich $0 = 0$ .
Schritt 4: Schlussfolgerung ziehen Da die Rechnung zu einer allgemeingültigen wahren Aussage führt, sind die Gleichungen voneinander abhängig. Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist die Menge aller Punkte auf einer der beiden Geraden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems: (I) 2x - 3y = 4 (II) 3y - 2x = -4

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir ordnen Gleichung (II) zur besseren Übersicht: $-2x + 3y = -4$ . Die Koeffizienten von x ( $2x$ und $-2x$ ) und y ( $-3y$ und $+3y$ ) sind bereits Gegenzahlen. Wir können direkt addieren.
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II): (2x - 3y) + (-2x + 3y) = 4 + (-4)$ $2x - 2x - 3y + 3y = 4 - 4$ $0 = 0$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 0$ ist immer wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da wir eine wahre Aussage erhalten haben, können wir die Lösungsmenge bestimmen.

Ergebnis:

Da wir eine wahre Aussage erhalten haben, hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 1

Aufgabe

Wie viele Lösungen hat das LGS? (I) x + 2y = 5 (II) 3x + 6y = 15

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren x. In (II) steht $3x$ . Um in (I) $-3x$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I) mit -3. $(I) \ x + 2y = 5 \ | \cdot (\textcolor{#53E5D6}{-3})$ $(I') \ -3x - 6y = -15$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I') + (II): (-3x - 6y) + (3x + 6y) = -15 + 15$ $-3x + 3x - 6y + 6y = 0$ $0 = 0$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 0$ ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus der wahren Aussage.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Lösungsanzahl für: (I) 4x - 2y = 6 (II) y = 2x - 3

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Zuerst bringen wir Gleichung (II) in die Form $ax + by = c$ . (II) y = 2x - 3 \ | -2x (II') -2x + y = -3 Das LGS ist nun: (I) 4x - 2y = 6 (II') -2x + y = -3 Wir eliminieren y. In (I) steht $-2y$ . Um in (II') $+2y$ zu erhalten, multiplizieren wir (II') mit 2. $(II') \ -2x + y = -3 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(II'') \ -4x + 2y = -6$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II''): (4x - 2y) + (-4x + 2y) = 6 + (-6)$ $0 = 0$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 0$ ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus der wahren Aussage.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle die Anzahl der Lösungen: (I) 10x + 25y = 50 (II) 2x + 5y = 10

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren x. In (I) steht $10x$ . Um in (II) $-10x$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (II) mit -5. $(II) \ 2x + 5y = 10 \ | \cdot (\textcolor{#53E5D6}{-5})$ $(II') \ -10x - 25y = -50$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I) + (II'): (10x + 25y) + (-10x - 25y) = 50 + (-50)$ $0 = 0$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 0$ ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus der wahren Aussage.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen für das LGS: (I) x - 0,5y = 1,5 (II) -4x + 2y = -6

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir eliminieren x. In (II) steht $-4x$ . Um in (I) $+4x$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I) mit 4. $(I) \ x - 0,5y = 1,5 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{4}$ $(I') \ 4x - 2y = 6$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$(I') + (II): (4x - 2y) + (-4x + 2y) = 6 + (-6)$ $0 = 0$
Schritt 3
Ergebnis analysieren
Die Aussage $0 = 0$ ist wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Wir ziehen unsere Schlussfolgerung aus der wahren Aussage.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Aufgabentyp 4: Lösungsanzahl mit Parameter bestimmen

Manchmal enthält eine Gleichung einen Parameter (oft $a$ , $k$ oder $t$ ). Das ist ein Platzhalter für eine Zahl. Deine Aufgabe ist es, den Wert für diesen Parameter zu finden, damit das LGS eine bestimmte Anzahl von Lösungen hat (meistens keine oder unendlich viele).

Die Strategie ist einfach: Behandle den Parameter wie eine ganz normale Zahl und wende das Additionsverfahren an. Am Ende erhältst du eine Gleichung, die vom Parameter abhängt (z.B. $0 = a + 3$ ). Dann überlegst du, welchen Wert der Parameter annehmen muss, um das gewünschte Ergebnis (Widerspruch oder wahre Aussage) zu erzeugen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Additionsverfahren durchführen Behandle den Parameter wie eine Zahl. Bereite die Gleichungen vor und addiere sie, um eine Variable (oder beide) zu eliminieren. Du erhältst eine Gleichung, in der die Variablen weggefallen sind, aber der Parameter noch enthalten ist (z.B. $0 = a + 3$ ).
Schritt 2: Bedingung formulieren Überlege, was die Aufgabe verlangt:
- Für unendlich viele Lösungen muss eine wahre Aussage entstehen. Die Gleichung muss also zu $0 = 0$ werden.
- Für keine Lösung muss ein Widerspruch entstehen. Die Gleichung muss also zu $0 = \text{Zahl} \neq 0$ werden.
Schritt 3: Parameter berechnen Setze die Bedingung aus Schritt 2 in deine Ergebnisgleichung ein und löse nach dem Parameter auf.
- Beispiel für unendlich viele Lösungen: Aus $0 = a + 3$ folgt die Bedingung $a + 3 = 0$ . Also ist $a = -3$ .
- Beispiel für keine Lösung: Aus $0 = a + 3$ folgt die Bedingung $a + 3 \neq 0$ . Also ist $a \neq -3$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Gegeben ist das LGS: (I) -4x + y = 2 (II) 6x - 1,5y = a Bestimme mit dem Additionsverfahren einen Wert von a, für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir wollen y eliminieren. In (II) steht $-1,5y$ . Um in (I) $+1,5y$ zu erhalten, multiplizieren wir Gleichung (I) mit 1,5. $(I) \ -4x + y = 2 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{1,5}$ $(I') \ -6x + 1,5y = 3$ Jetzt addieren wir (I') und (II). $(I') + (II): (-6x + 1,5y) + (6x - 1,5y) = 3 + a$ $0 = 3 + a$
Schritt 2
Bedingung formulieren
Für unendlich viele Lösungen benötigen wir eine wahre Aussage, also $0 = 0$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Parameter berechnen
Unsere Ergebnisgleichung $0 = 3 + a$ wird zu $0=0$ , wenn der rechte Teil ebenfalls 0 ist. $3 + a = 0 \ | -3$ $\textcolor{#1E90FF}{a = -3}$

Ergebnis:

Für $a = -3$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist das LGS: (I) 2x + 8y = 4 (II) -x - 4y = a Für welchen Wert von a hat das LGS keine Lösung?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir eliminieren x. Wir multiplizieren Gleichung (II) mit 2. $(II) \ -x - 4y = a \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(II') \ -2x - 8y = 2a$ Jetzt addieren wir (I) und (II'). $(I) + (II'): (2x + 8y) + (-2x - 8y) = 4 + 2a$ $0 = 4 + 2a$
Schritt 2
Bedingung formulieren
Für keine Lösung benötigen wir einen Widerspruch, also $0 \neq 0$ . Der rechte Teil darf also nicht 0 sein.
Schritt 3 · Ergebnis
Parameter berechnen
Wir finden zuerst heraus, wann der rechte Teil 0 wäre: $4 + 2a = 0 \ | -4$ $2a = -4 \ | : 2$ $a = -2$ Für $a = -2$ gäbe es unendlich viele Lösungen. Für jeden anderen Wert von a gibt es einen Widerspruch. Wir können also jeden Wert außer -2 wählen.

Ergebnis:

Zum Beispiel für $\textcolor{#1E90FF}{a = 0}$ ist $0 = 4$ , was ein Widerspruch ist. Das LGS hat also für $\textcolor{#1E90FF}{a \neq -2}$ keine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist das LGS: (I) 3x - y = 5 (II) -12x + 4y = a Für welchen Wert von a hat das LGS unendlich viele Lösungen?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir eliminieren x. Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 4. $(I) \ 3x - y = 5 \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{4}$ $(I') \ 12x - 4y = 20$ Jetzt addieren wir (I') und (II). $(I') + (II): (12x - 4y) + (-12x + 4y) = 20 + a$ $0 = 20 + a$
Schritt 2
Bedingung formulieren
Für unendlich viele Lösungen muss die Gleichung $0 = 0$ ergeben.
Schritt 3 · Ergebnis
Parameter berechnen
Der rechte Teil muss 0 sein. $20 + a = 0 \ | -20$ $\textcolor{#1E90FF}{a = -20}$

Ergebnis:

Für $a = -20$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist das LGS: (I) 5x + 2y = 10 (II) 2,5x + y = a Für welchen Wert von a hat das LGS unendlich viele Lösungen?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir eliminieren y. Wir multiplizieren Gleichung (II) mit -2. $(II) \ 2,5x + y = a \ | \cdot (\textcolor{#53E5D6}{-2})$ $(II') \ -5x - 2y = -2a$ Jetzt addieren wir (I) und (II'). $(I) + (II'): (5x + 2y) + (-5x - 2y) = 10 - 2a$ $0 = 10 - 2a$
Schritt 2
Bedingung formulieren
Für unendlich viele Lösungen muss $0 = 0$ gelten.
Schritt 3 · Ergebnis
Parameter berechnen
Der rechte Teil muss 0 sein. $10 - 2a = 0 \ | +2a$ $10 = 2a \ | : 2$ $\textcolor{#1E90FF}{a = 5}$

Ergebnis:

Für $a = 5$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist das LGS: (I) x - 3y = k (II) -2x + 6y = 4 Für welchen Wert von k hat das LGS keine Lösung?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir eliminieren x. Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 2. $(I) \ x - 3y = k \ | \cdot \textcolor{#53E5D6}{2}$ $(I') \ 2x - 6y = 2k$ Jetzt addieren wir (I') und (II). $(I') + (II): (2x - 6y) + (-2x + 6y) = 2k + 4$ $0 = 2k + 4$
Schritt 2
Bedingung formulieren
Für keine Lösung muss ein Widerspruch entstehen, also $0 \neq 0$ . Der rechte Teil darf also nicht 0 sein.
Schritt 3 · Ergebnis
Parameter berechnen
Wir prüfen, wann der rechte Teil 0 wäre: $2k + 4 = 0 \ | -4$ $2k = -4 \ | : 2$ $k = -2$ Für $k = -2$ gäbe es unendlich viele Lösungen. Für jeden anderen Wert von k entsteht ein Widerspruch.

Ergebnis:

Das LGS hat für $\textcolor{#1E90FF}{k \neq -2}$ keine Lösung.

Wichtige Erkenntnisse

Ziel des Additionsverfahrens: Eine Variable durch geschicktes Addieren der Gleichungen eliminieren.
Eine Lösung: Du kannst einen eindeutigen Wert für x und y berechnen. Grafisch: Die Geraden schneiden sich.
Keine Lösung: Nach dem Addieren fallen beide Variablen weg und es entsteht eine falsche Aussage (z.B. $0 = 5$ ). Grafisch: Die Geraden sind parallel.
Unendlich viele Lösungen: Nach dem Addieren fallen beide Variablen weg und es entsteht eine wahre Aussage (z.B. $0 = 0$ ). Grafisch: Die Geraden sind identisch.
Parameter: Behandle den Parameter wie eine normale Zahl. Am Ende bestimmst du seinen Wert so, dass eine wahre Aussage (unendlich viele Lösungen) oder eine falsche Aussage (keine Lösung) entsteht.

LGS Anzahl der Lösungen (Additionsverfahren) einfach erklärt