Einsetzungsverfahren einfach erklärt: LGS rechnerisch lösen

Stell dir vor, du spielst Fußball und der Trainer wechselt dich aus. Ein anderer Spieler kommt für dich aufs Feld. Das Spiel geht weiter, aber mit einem neuen Spieler auf deiner Position. Genau so funktioniert das Einsetzungsverfahren in der Mathematik!

Wenn wir ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Unbekannten haben, können wir es nicht direkt lösen. Aber wir können eine Unbekannte quasi „auswechseln“, indem wir ihren Wert aus der einen Gleichung in die andere einsetzen. So machen wir aus einem komplizierten Problem mit zwei Unbekannten eine einfache Gleichung mit nur einer Unbekannten, die wir ganz leicht lösen können. Schauen wir uns an, wie dieser mathematische Spielertausch funktioniert!

Vorwissen

• Lineare Gleichungen lösen: Du solltest wissen, wie man eine Gleichung nach einer Variablen auflöst, indem man auf beiden Seiten das Gleiche rechnet.

  Beispiel: Aus $3x - 5 = 10$ wird durch $+ 5$ auf beiden Seiten $3x = 15$. Teilt man dann durch $3$, erhält man $x = 5$.

• Klammern auflösen (Minus vor der Klammer): Wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, drehen sich beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer um.

  Beispiel: $-(x - 4)$ wird zu $-x + 4$.

Aufgabentyp 1: Lineare Gleichungssysteme lösen

Beim Einsetzungsverfahren nutzen wir eine Gleichung, um die andere zu vereinfachen. Das Ziel ist es, eine Gleichung zu erhalten, in der nur noch eine einzige Variable (also nur $x$ oder nur $y$) vorkommt.

Stell dir vor, wir haben folgendes Gleichungssystem:

$(I)\quad y = \textcolor{#08BFFF}{2x}$

$(II)\quad x + y = 12$

Die erste Gleichung verrät uns bereits ein Geheimnis: $y$ ist genau dasselbe wie $\textcolor{#08BFFF}{2x}$. Weil beide Seiten gleich viel wert sind, können wir in der zweiten Gleichung das $y$ einfach herausnehmen und durch $\textcolor{#08BFFF}{2x}$ ersetzen.

Wir setzen also $(I)$ in $(II)$ ein:

$x + \textcolor{#08BFFF}{2x} = 12$

Jetzt haben wir eine Gleichung, in der gar kein $y$ mehr vorkommt! Diese können wir ganz normal zusammenfassen zu $3x = 12$ und lösen. Genau das ist der Trick beim Einsetzungsverfahren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Eine Gleichung umstellen Wähle eine der beiden Gleichungen aus und forme sie so um, dass eine Variable (entweder $x$ oder $y$) ganz alleine auf einer Seite steht. Wenn eine Variable bereits alleine steht, kannst du diesen Schritt überspringen.
2. Schritt 2: In die andere Gleichung einsetzen Nimm den Term, den du in Schritt 1 gefunden hast, und setze ihn in die andere Gleichung für die entsprechende Variable ein. Wichtig: Setze den Term immer in Klammern, um Vorzeichenfehler zu vermeiden!
3. Schritt 3: Die neue Gleichung lösen Jetzt hast du eine Gleichung mit nur noch einer Variablen. Löse die Klammern auf, fasse zusammen und berechne den Wert dieser Variablen.
4. Schritt 4: Die zweite Variable berechnen Setze das Ergebnis aus Schritt 3 in die umgestellte Gleichung aus Schritt 1 ein. Rechne das Ergebnis aus. Notiere am Ende beide Werte als Lösungspaar $(x \mid y)$.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Das Ziel: Eine Variable durch einen Term ersetzen, damit man eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten erhält.
• Klammern setzen: Wenn du einen Term in die andere Gleichung einsetzt, schreibe ihn immer in Klammern. Das verhindert Fehler bei Minuszeichen oder beim Ausmultiplizieren.
• Clever wählen: Suche dir für Schritt 1 immer die Gleichung aus, bei der eine Variable schon alleine steht oder keine Zahl (Koeffizient) vor sich hat. Das spart Rechenarbeit!