LGS graphisch lösen einfach erklärt: Schnittpunkte finden

Stell dir vor, du bist auf einer digitalen Schatzsuche. Du bekommst zwei Hinweise: „Der Schatz liegt genau auf dem Weg von Laserstrahl A“ und „Der Schatz liegt genau auf dem Weg von Laserstrahl B“. Wo musst du suchen? Genau da, wo sich die beiden Laserstrahlen kreuzen!

In der Mathematik machen wir mit Linearen Gleichungssystemen (LGS) genau das Gleiche. Anstatt kompliziert zu rechnen, zeichnen wir einfach zwei Linien und suchen ihren Schnittpunkt. Dieser eine Punkt ist der „Schatz“, der beide Gleichungen gleichzeitig löst. Lass uns herausfinden, wie du ein LGS graphisch lösen kannst!

Schnellantwort

Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) kannst du graphisch lösen, indem du beide Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist die Lösung des LGS, da er beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Verlaufen die Geraden parallel, gibt es keine Lösung.

Vorwissen

• Gleichungen umformen: Du kannst eine Gleichung so umstellen, dass eine Variable (meistens $y$) alleine auf einer Seite steht.

  Beispiel: $2x + y = 4 \quad | - 2x \rightarrow y = -2x + 4$

• Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer als $(x \mid y)$ angegeben. Der $x$-Wert ist die Bewegung nach rechts/links, der $y$-Wert die Bewegung nach oben/unten.

  Beispiel: Um den Punkt $(1 \mid 3)$ einzuzeichnen, gehst du vom Ursprung $1$ Schritt nach rechts und $3$ Schritte nach oben.

Aufgabentyp 1: Graphisch lösen und die Anzahl der Lösungen

Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei Gleichungen. Jede dieser Gleichungen können wir als eine gerade Linie (Gerade) in ein Koordinatensystem zeichnen.

Die Lösung des LGS ist der Punkt, der auf beiden Geraden gleichzeitig liegt. Wenn wir die beiden Geraden zeichnen, kann es drei verschiedene Situationen geben:

• Ein Schnittpunkt: Die Geraden kreuzen sich genau einmal. Das LGS hat genau eine Lösung. Die Koordinaten des Schnittpunkts sind diese Lösung.

• Parallele Geraden: Die Geraden verlaufen nebeneinander und berühren sich nie. Weil es keinen Schnittpunkt gibt, hat das LGS keine Lösung.

• Identische Geraden: Die Geraden liegen genau aufeinander. Jeder Punkt auf der Linie ist ein Schnittpunkt. Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichungen umformen: Forme beide Gleichungen so um, dass sie die Form $y = mx + c$ haben. Das bedeutet, das $y$ muss ganz alleine auf einer Seite stehen.
2. Punkte bestimmen: Berechne für jede Gerade zwei Punkte. Setze dafür einfach zwei beliebige, einfache Zahlen (wie $0$ oder $1$) für $x$ in die Gleichung ein und rechne das $y$ aus.
3. Geraden zeichnen: Zeichne ein Koordinatensystem. Trage die Punkte für die erste Gerade ein und verbinde sie mit einem Lineal. Mache danach dasselbe für die zweite Gerade.
4. Schnittpunkt ablesen: Suche den Punkt, an dem sich die beiden Geraden kreuzen. Lies seinen $x$-Wert und seinen $y$-Wert ab. Das ist deine Lösung!

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Um ein LGS graphisch zu lösen, musst du immer zuerst beide Gleichungen in die Form $y = mx + c$ umformen.
• 1 Schnittpunkt: Das LGS hat genau eine Lösung (die Koordinaten des Schnittpunkts).
• Parallele Geraden: Das LGS hat keine Lösung.
• Identische Geraden: Das LGS hat unendlich viele Lösungen.