Vektorkonstruktion von Geschwindigkeiten einfach erklärt

Bei der Vektorkonstruktion von Geschwindigkeiten geht es darum, Bewegungsänderungen zeichnerisch zu ermitteln. Stell dir vor, du spielst Air-Hockey. Der Puck gleitet gerade über den Tisch, und du triffst ihn von der Seite mit dem Schläger. Er stoppt nicht einfach oder fliegt genau in die Richtung deines Schlags – seine neue Flugbahn ist eine Mischung aus seiner alten Bewegung und deinem Stoß.

In dieser Lektion lernen wir, wie man genau vorhersagt, in welche Richtung sich ein Objekt nach einem Stoß bewegt. Wir nutzen dafür Pfeile, sogenannte Vektoren, und zeichnen die Lösung einfach auf!

Vorwissen

• Vektoren: Größen, die einen Betrag (Länge) und eine Richtung haben. Beispiel: Eine Geschwindigkeit von $5 \text{ m/s}$ nach rechts wird als Pfeil gezeichnet, der nach rechts zeigt.
• Vektoraddition: Das Aneinanderhängen von Pfeilen, um einen resultierenden Pfeil zu erhalten. Beispiel: Gehst du $3 \text{ m}$ nach Norden und dann $4 \text{ m}$ nach Osten, zeigt dein resultierender Verschiebungspfeil vom Start direkt zum Ziel.

Aufgabentyp 1: Konstruieren von Geschwindigkeitsvektoren

Wenn ein bewegtes Objekt einen Stoß erhält, ändert sich seine Geschwindigkeit. Wir beschreiben das mit drei speziellen Vektoren (Pfeilen):

• $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$: Die Anfangsgeschwindigkeit vor dem Stoß.
• $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$: Die Zusatzgeschwindigkeit, die durch den Stoß hinzukommt.
• $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$: Die Endgeschwindigkeit nach dem Stoß.

Die Endgeschwindigkeit setzt sich aus der ursprünglichen Bewegung und der neuen Bewegung zusammen. Es gilt: $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}} = \textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}} + \textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$.

Es gibt zwei typische Aufgabenstellungen, die wir zeichnerisch lösen können:

Fall 1: Die Endgeschwindigkeit finden

Wenn du weißt, wie schnell das Objekt war ($\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$) und wie es gestoßen wurde ($\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$), nutzt du die Parallelogrammmethode:

1. Zeichne beide Pfeile vom Mittelpunkt des Objekts aus.
2. Ergänze die Pfeile mit gestrichelten Linien zu einem Parallelogramm.
3. Die Diagonale, die vom Objekt ausgeht, ist die Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$.

Fall 2: Die Zusatzgeschwindigkeit finden

Manchmal siehst du die Bewegung vor dem Stoß ($\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$) und nach dem Stoß ($\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$) und willst herausfinden, in welche Richtung der Stoß wirkte:

1. Zeichne $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ und $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ vom Mittelpunkt des Objekts aus.
2. Zeichne einen Hilfspfeil, der genau von der Spitze von $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ zur Spitze von $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ zeigt.
3. Verschiebe diesen Pfeil parallel, sodass er im Mittelpunkt des Objekts beginnt. Das ist die Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Zeichne alle bekannten Geschwindigkeitsvektoren so ein, dass sie im Mittelpunkt des Objekts beginnen.
2. Wende die Konstruktionsmethode an: Zeichne Parallelen für ein Parallelogramm (Endgeschwindigkeit) oder einen Hilfspfeil von Spitze zu Spitze (Zusatzgeschwindigkeit).
3. Zeichne den gesuchten Vektor ein: Ziehe die Diagonale (Endgeschwindigkeit) oder verschiebe den Hilfspfeil parallel zum Ursprung (Zusatzgeschwindigkeit).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Ein Puck gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ nach rechts. Er erhält einen Stoß, der ihm eine Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ schräg nach oben rechts verleiht. Konstruiere die Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Vektoren einzeichnen

   Beide Vektoren $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ und $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ starten bereits im Mittelpunkt des Pucks.

2. 2
   Schritt 2
   Konstruktionsmethode anwenden

   Wir wollen die Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ finden. Wir zeichnen eine gestrichelte Linie parallel zu $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ durch die Spitze von $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ und eine gestrichelte Linie parallel zu $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ durch die Spitze von $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$. So entsteht ein Parallelogramm.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Den gesuchten Vektor einzeichnen

   Wir zeichnen die Diagonale vom Mittelpunkt des Pucks bis zum Schnittpunkt der gestrichelten Linien. Das ist die Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$.

   

Ergebnis:

Die Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ ist die konstruierte Diagonale des Parallelogramms.

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Ball rollt mit einer Anfangsgeschwindigkeit $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ nach rechts. Nach einer Kollision bewegt er sich mit der Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ steil nach oben rechts. Konstruiere die Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$, die durch die Kollision verursacht wurde.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Vektoren einzeichnen

   Die Vektoren $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ und $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ starten im Mittelpunkt des Balls.

2. 2
   Schritt 2
   Konstruktionsmethode anwenden

   Wir wollen die Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ finden. Wir zeichnen einen Hilfspfeil, der an der Spitze von $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ beginnt und genau an der Spitze von $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ endet.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Den gesuchten Vektor einzeichnen

   Wir verschieben diesen Hilfspfeil parallel, sodass sein Fußpunkt im Mittelpunkt des Balls liegt. Dieser neue Pfeil ist die gesuchte Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$.

   

Ergebnis:

Der parallel verschobene Hilfspfeil entspricht der gesuchten Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Geschwindigkeiten werden als Vektoren (Pfeile) dargestellt.
• Die Endgeschwindigkeit ist die Summe aus Anfangs- und Zusatzgeschwindigkeit: $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}} = \textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}} + \textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$.
• Parallelogrammmethode: Nutze sie, um die Endgeschwindigkeit $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ aus $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ und $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ zu konstruieren.
• Spitze-zu-Spitze-Methode: Verbinde die Spitze von $\textcolor{#08BFFF}{\vec{v}_{A}}$ mit der Spitze von $\textcolor{#9570FF}{\vec{v}_{E}}$ und verschiebe den Pfeil zum Ursprung, um die Zusatzgeschwindigkeit $\textcolor{#FFCE51}{\Delta\vec{v}}$ zu finden.