Grundlegende Modelle der linearen Bewegung einfach erklärt

Stell dir vor, du sitzt in einem Auto auf einer schnurgeraden Autobahn. Manchmal schaltest du den Tempomat ein und rollst völlig entspannt mit exakt $100 \text{ km/h}$ dahin. Ein anderes Mal stehst du an einer roten Ampel, sie springt auf Grün, und du drückst das Gaspedal voll durch, um immer schneller zu werden.

In der Physik nennen wir diese beiden Situationen die grundlegenden Modelle der linearen Bewegung. In diesem Artikel lernst du, wie man diese beiden Bewegungsarten – das gleichmäßige Rollen und das stetige Beschleunigen – mit einfachen Formeln berechnet und wie man sie in Diagrammen sichtbar macht.

Vorwissen

• Weg, Zeit und Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird.

  Formel: $v = \frac{s}{t}$

  Beispiel: Ein Fahrrad fährt in $2 \text{ s}$ eine Strecke von $10 \text{ m}$. Die Geschwindigkeit ist $v = 5 \text{ m/s}$.

• Diagramme lesen: In einem Koordinatensystem zeigt die x-Achse (waagerecht) meistens die Zeit ($t$) und die y-Achse (senkrecht) die gemessene Größe, wie zum Beispiel den Weg ($s$).

Aufgabentyp 1: Gleichförmige geradlinige Bewegung

Wenn sich ein Körper immer in dieselbe Richtung und immer gleich schnell bewegt, nennen wir das eine gleichförmige geradlinige Bewegung.

Da sich die Geschwindigkeit nicht ändert, wird weder gebremst noch Gas gegeben. Das bedeutet, die Beschleunigung ist exakt null ($\textcolor{#FF7D57}{a} = 0$).

Die Bewegungsgleichung: Wenn wir die Messung bei $0 \text{ Metern}$ und $0 \text{ Sekunden}$ starten, wächst der zurückgelegte Weg gleichmäßig mit der Zeit. Die Formel dafür lautet:

$\textcolor{#08BFFF}{s(t)} = \textcolor{#9570FF}{v} \cdot t$

So sieht das in Diagrammen aus:

• Das s(t)-Diagramm (Weg-Zeit): Es zeigt eine schräge Gerade, die im Ursprung startet (Ursprungsgerade). Je steiler diese Gerade ist, desto höher ist die Geschwindigkeit.
• Das v(t)-Diagramm (Geschwindigkeit-Zeit): Da die Geschwindigkeit immer gleich bleibt, sehen wir hier eine waagerechte, flache Linie.
• Das a(t)-Diagramm (Beschleunigung-Zeit): Da es keine Beschleunigung gibt, liegt die Linie flach auf der Null-Linie.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bewegungsart bestimmen: Lies die Aufgabe genau: Bleibt die Geschwindigkeit gleich (gleichförmig) oder startet das Objekt aus der Ruhe und wird schneller (beschleunigt)?
2. Gegebene und gesuchte Werte notieren: Schreibe alle Zahlen mit ihren Einheiten auf. Was ist gegeben ($s$, $v$, $a$, $t$)? Was ist gesucht?
3. Die richtige Formel auswählen: Bei konstanter Geschwindigkeit wählst du $\textcolor{#08BFFF}{s} = \textcolor{#9570FF}{v} \cdot t$.
4. Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die Zahlen in die Formel ein und löse nach der gesuchten Größe auf. Vergiss die Einheit am Ende nicht!

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Nun betrachten wir den Fall, dass du an der Ampel stehst und das Gaspedal gleichmäßig durchdrückst. Die Beschleunigung ist jetzt konstant ($\textcolor{#FF7D57}{a} = \text{konstant}$).

Das bedeutet, deine Geschwindigkeit nimmt in jeder Sekunde um denselben Betrag zu. Wir gehen davon aus, dass du aus dem Stillstand startest (also bei $0 \text{ m/s}$).

Die Bewegungsgleichungen: Da du immer schneller wirst, legst du in jeder Sekunde mehr Strecke zurück als in der Sekunde davor. Der Weg wächst daher mit dem Quadrat der Zeit ($t^{2}$):

• Weg: $\textcolor{#08BFFF}{s(t)} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t^{2}$
• Geschwindigkeit: $\textcolor{#9570FF}{v(t)} = \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t$

So sieht das in Diagrammen aus:

• Das s(t)-Diagramm: Es ist keine gerade Linie mehr, sondern eine Kurve, die immer steiler wird (eine Parabel).
• Das v(t)-Diagramm: Die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig zu. Das ergibt eine schräge Gerade durch den Ursprung.
• Das a(t)-Diagramm: Da du das Gaspedal konstant in einer Position hältst, ist die Beschleunigung immer gleich. Wir sehen eine waagerechte Linie oberhalb der Null.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bewegungsart bestimmen: Lies die Aufgabe genau: Startet das Objekt aus der Ruhe und wird schneller (beschleunigt)?
2. Gegebene und gesuchte Werte notieren: Schreibe alle Zahlen mit ihren Einheiten auf. Was ist gegeben ($s$, $v$, $a$, $t$)? Was ist gesucht?
3. Die richtige Formel auswählen: Bei konstanter Beschleunigung aus der Ruhe wählst du $\textcolor{#08BFFF}{s} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t^{2}$ oder $\textcolor{#9570FF}{v} = \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t$.
4. Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die Zahlen in die Formel ein und löse nach der gesuchten Größe auf. Vergiss die Einheit am Ende nicht!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Sportwagen steht an einer Startlinie. Bei Grün beschleunigt er gleichmäßig mit $\textcolor{#FF7D57}{a} = 4 \text{ m/s}^{2}$. Berechne seine Geschwindigkeit nach $5 \text{ Sekunden}$ und die bis dahin zurückgelegte Strecke.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Bewegungsart bestimmen

   Das Auto startet aus dem Stand und wird schneller. Es ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

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   Schritt 2
   Gegebene und gesuchte Werte notieren

   Gegeben: $\textcolor{#FF7D57}{a} = 4 \text{ m/s}^{2}$, $t = 5 \text{ s}$ Gesucht: $\textcolor{#9570FF}{v} = ?$ und $\textcolor{#08BFFF}{s} = ?$

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   Schritt 3
   Die richtige Formel auswählen

   Wir brauchen beide Formeln für die beschleunigte Bewegung: Geschwindigkeit: $\textcolor{#9570FF}{v} = \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t$ Strecke: $\textcolor{#08BFFF}{s} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t^{2}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Werte einsetzen und ausrechnen

   Zuerst die Geschwindigkeit: $\textcolor{#9570FF}{v} = \textcolor{#FF7D57}{4 \text{ m/s}^{2}} \cdot 5 \text{ s}$ $\textcolor{#9570FF}{v} = \textcolor{#9570FF}{20 \text{ m/s}}$

   Nun die Strecke: $\textcolor{#08BFFF}{s} = 0.5 \cdot \textcolor{#FF7D57}{4 \text{ m/s}^{2}} \cdot (5 \text{ s})^{2}$ Wir rechnen zuerst das Quadrat aus ($5 \cdot 5 = 25$): $\textcolor{#08BFFF}{s} = 0.5 \cdot \textcolor{#FF7D57}{4 \text{ m/s}^{2}} \cdot 25 \text{ s}^{2}$ $\textcolor{#08BFFF}{s} = 2 \text{ m/s}^{2} \cdot 25 \text{ s}^{2}$ $\textcolor{#08BFFF}{s} = \textcolor{#08BFFF}{50 \text{ m}}$

Ergebnis:

Nach $5 \text{ Sekunden}$ hat der Sportwagen eine Geschwindigkeit von $\textcolor{#9570FF}{20 \text{ m/s}}$ erreicht und dabei eine Strecke von $\textcolor{#08BFFF}{50 \text{ Metern}}$ zurückgelegt.

Wichtige Erkenntnisse

• Gleichförmige Bewegung: Die Geschwindigkeit bleibt gleich ($\textcolor{#FF7D57}{a} = 0$). Der Weg wächst gleichmäßig: $\textcolor{#08BFFF}{s} = \textcolor{#9570FF}{v} \cdot t$. Das s(t)-Diagramm ist eine gerade Linie.
• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Die Beschleunigung $\textcolor{#FF7D57}{a}$ ist konstant, das Objekt wird immer schneller. Der Weg wächst quadratisch: $\textcolor{#08BFFF}{s} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#FF7D57}{a} \cdot t^{2}$. Das s(t)-Diagramm ist eine Parabel (Kurve).
• Achtung bei Diagrammen: Achte immer genau darauf, was an der y-Achse steht ($s$, $v$ oder $a$), bevor du den Graphen interpretierst!