Lineare Bewegung mit Anfangsbedingungen einfach erklärt

Stell dir vor, du fährst ein Rennen in einem Videospiel wie Mario Kart. Manchmal bekommst du direkt beim Start einen kleinen Geschwindigkeitsschub, oder du darfst das Rennen ein paar Meter weiter vorne beginnen als die anderen. Du startest also nicht bei null!

In der Physik ist das ganz ähnlich. Wenn wir eine lineare Bewegung mit Anfangsbedingungen betrachten, gehen wir davon aus, dass Objekte oft schon einen Vorsprung (einen Startort) oder eine Anfangsgeschwindigkeit (einen fliegenden Start) haben, wenn wir anfangen, die Zeit zu stoppen. In diesem Artikel lernst du, wie du diese Anfangsbedingungen ganz einfach in deine Rechnungen einbauen kannst.

Vorwissen

• Gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit, Start bei 0): Formel: $s = v \cdot t$ Beispiel: Ein Fahrrad fährt mit konstanten $5 \text{ m/s}$. Nach $3 \text{ s}$ hat es $15 \text{ m}$ zurückgelegt.

• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Start aus dem Stand bei 0): Formel für die Strecke: $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ Formel für die Geschwindigkeit: $v = a \cdot t$ Beispiel: Ein Auto beschleunigt aus dem Stand mit $2 \text{ m/s}^{2}$. Nach $3 \text{ s}$ ist es $6 \text{ m/s}$ schnell.

Aufgabentyp 1: Gleichförmige Bewegung mit einem Vorsprung

Oft beginnt eine Bewegung nicht genau am Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Stell dir vor, du stehst auf einer Brücke (das ist unser Nullpunkt, $0 \text{ m}$). Du siehst eine Ente, die bereits 5 Meter von der Brücke entfernt ist, wenn du deine Stoppuhr startest.

Diese 5 Meter nennen wir die Anfangsposition oder den Startort. In Formeln wird er mit $\textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$ abgekürzt. Die kleine Null bedeutet: „Zum Zeitpunkt $t = 0$“.

Wenn die Ente nun mit einer konstanten Geschwindigkeit wegschwimmt, berechnen wir ihre aktuelle Position, indem wir einfach ihren Vorsprung ($\textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$) zu der Strecke addieren, die sie gerade schwimmt ($v \cdot t$).

Die erweiterte Bewegungsgleichung lautet:

$s(t) = v \cdot t + \textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$

Alltagsbezug: Wenn die Ente mit $1 \text{ m/s}$ schwimmt, lautet die Gleichung für ihre Position: $s(t) = 1 \text{ m/s} \cdot t + \textcolor{#08BFFF}{5 \text{ m}}$. Nach $3 \text{ Sekunden}$ ist sie also $3 \text{ m}$ geschwommen, plus die $5 \text{ m}$ Vorsprung, macht insgesamt $8 \text{ m}$ Entfernung zur Brücke.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Werte aus dem Text filtern: Lies die Aufgabe genau und notiere alle gegebenen Werte. Achte besonders auf Signalwörter wie „startet bei“. Notiere $s_{0}$, $v$ und $t$.
2. Einheiten prüfen: In der Physik rechnen wir fast immer mit Metern ($\text{m}$) und Sekunden ($\text{s}$). Wandle falls nötig um.
3. Passende Formel auswählen: Nutze für die gleichförmige Bewegung mit Startort die Formel $s(t) = v \cdot t + s_{0}$.
4. Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die Zahlen mit ihren Einheiten in die Formel ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Beschleunigen mit fliegendem Start

Was passiert, wenn ein Auto nicht aus dem Stand an der Ampel losfährt, sondern bereits auf der Autobahn rollt und dann Gas gibt?

Das Auto hat dann eine Anfangsgeschwindigkeit (einen fliegenden Start). Wir nennen sie $\textcolor{#9570FF}{v_{0}}$. Wenn das Auto zusätzlich noch einen Vorsprung hat, müssen wir drei Dinge zusammenzählen, um die Gesamtstrecke zu berechnen. In der Physik nennt man dieses einfache Zusammenzählen von Teilbewegungen das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip).

Die Gesamtstrecke setzt sich aus drei Bausteinen zusammen:

1. Der Vorsprung: Wo war das Auto am Anfang? ($\textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$)
2. Der fliegende Start: Wie weit würde das Auto rollen, wenn es seine Anfangsgeschwindigkeit einfach beibehält? ($\textcolor{#9570FF}{v_{0}} \cdot t$)
3. Die Beschleunigung: Wie viel zusätzliche Strecke kommt dazu, weil das Auto Gas gibt? ($\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot t^{2}$)

Wenn wir diese drei Bausteine addieren, erhalten wir die vollständige Formel für die Strecke:

$s(t) = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot t^{2} + \textcolor{#9570FF}{v_{0}} \cdot t + \textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$

Auch die aktuelle Geschwindigkeit des Autos ändert sich. Sie ist einfach die Anfangsgeschwindigkeit plus der Geschwindigkeitszuwachs durch das Gasgeben:

$v(t) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot t + \textcolor{#9570FF}{v_{0}}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Werte aus dem Text filtern: Notiere alle gegebenen Werte. Achte auf Signalwörter wie „hat bereits eine Geschwindigkeit von“ oder „beschleunigt“. Notiere $s_{0}$, $v_{0}$, $a$ und $t$.
2. Einheiten prüfen (Die km/h-Falle!): Wenn eine Geschwindigkeit in $\text{km/h}$ gegeben ist, musst du sie zuerst in $\text{m/s}$ umrechnen! Teile den Wert in $\text{km/h}$ durch $3,6$.
3. Passende Formel auswählen: Wird nach einer Strecke gefragt? Nutze $s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t + s_{0}$. Wird nach einer Geschwindigkeit gefragt? Nutze $v(t) = a \cdot t + v_{0}$.
4. Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die Zahlen mit ihren Einheiten in die Formel ein und rechne das Ergebnis Schritt für Schritt aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Auto fährt mit $72 \text{ km/h}$ auf einer Landstraße. Es passiert ein Ortsschild. Genau $50 \text{ m}$ hinter dem Ortsschild gibt die Fahrerin Gas und beschleunigt gleichmäßig mit $2 \text{ m/s}^{2}$. Berechne die Geschwindigkeit des Autos und seine Entfernung zum Ortsschild nach $4 \text{ Sekunden}$ Beschleunigung.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Werte aus dem Text filtern

   Gegeben: Startort (Entfernung zum Schild beim Gasgeben): $\textcolor{#08BFFF}{s_{0}} = \textcolor{#08BFFF}{50 \text{ m}}$ Anfangsgeschwindigkeit: $\textcolor{#9570FF}{v_{0}} = \textcolor{#9570FF}{72 \text{ km/h}}$ Beschleunigung: $\textcolor{#53E5D6}{a} = \textcolor{#53E5D6}{2 \text{ m/s}^{2}}$ Zeit: $t = 4 \text{ s}$ Gesucht: Geschwindigkeit $v(t)$ und Strecke $s(t)$.

2. 2
   Schritt 2
   Einheiten prüfen

   Die Anfangsgeschwindigkeit ist in $\text{km/h}$ gegeben. Wir müssen sie durch $3,6$ teilen: $\textcolor{#9570FF}{v_{0}} = 72 \div 3,6 = \textcolor{#9570FF}{20 \text{ m/s}}$

3. 3
   Schritt 3
   Passende Formel auswählen

   Für die Geschwindigkeit: $v(t) = \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot t + \textcolor{#9570FF}{v_{0}}$ Für die Strecke: $s(t) = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot t^{2} + \textcolor{#9570FF}{v_{0}} \cdot t + \textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Werte einsetzen und ausrechnen

   1. Geschwindigkeit berechnen: $v(4 \text{ s}) = \textcolor{#53E5D6}{2 \text{ m/s}^{2}} \cdot 4 \text{ s} + \textcolor{#9570FF}{20 \text{ m/s}}$ $v(4 \text{ s}) = 8 \text{ m/s} + \textcolor{#9570FF}{20 \text{ m/s}}$ $v(4 \text{ s}) = 28 \text{ m/s}$

   2. Strecke berechnen: $s(4 \text{ s}) = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#53E5D6}{2 \text{ m/s}^{2}} \cdot (4 \text{ s})^{2} + \textcolor{#9570FF}{20 \text{ m/s}} \cdot 4 \text{ s} + \textcolor{#08BFFF}{50 \text{ m}}$ Wir rechnen die drei Bausteine einzeln aus: Baustein 1 (Beschleunigung): $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 16 = 16 \text{ m}$ Baustein 2 (Fliegender Start): $20 \cdot 4 = 80 \text{ m}$ Baustein 3 (Vorsprung): $50 \text{ m}$ Jetzt addieren wir alles: $s(4 \text{ s}) = 16 \text{ m} + 80 \text{ m} + \textcolor{#08BFFF}{50 \text{ m}}$ $s(4 \text{ s}) = 146 \text{ m}$

Ergebnis:

Nach $4 \text{ Sekunden}$ ist das Auto $28 \text{ m/s}$ (ca. $101 \text{ km/h}$) schnell und befindet sich $146 \text{ m}$ hinter dem Ortsschild. Reality Check: Das Auto war schon $50 \text{ m}$ weit weg und fuhr schnell. Dass es nach $4 \text{ Sekunden}$ Gasgeben fast $100 \text{ m}$ weiter gefahren ist, ergibt physikalisch absolut Sinn.

Wichtige Erkenntnisse

• Anfangsposition ($\textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$): Der Ort, an dem sich ein Objekt befindet, wenn die Zeitmessung startet (der Vorsprung).
• Anfangsgeschwindigkeit ($\textcolor{#9570FF}{v_{0}}$): Die Geschwindigkeit, die ein Objekt bereits hat, wenn die Zeitmessung startet (der fliegende Start).
• Superpositionsprinzip: Die Gesamtstrecke ist einfach die Summe aus Vorsprung, der Strecke durch die Anfangsgeschwindigkeit und der Strecke durch die Beschleunigung: $s(t) = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#53E5D6}{a} \cdot t^{2} + \textcolor{#9570FF}{v_{0}} \cdot t + \textcolor{#08BFFF}{s_{0}}$.
• Achtung: Rechne Geschwindigkeiten immer von $\text{km/h}$ in $\text{m/s}$ um (geteilt durch $3,6$), bevor du sie in die Formel einsetzt!