Kinematik unter Verwendung der Analysis erklärt

Stell dir vor, du sitzt in einem Auto, das auf die Autobahn auffährt und stark beschleunigt. Wenn du auf den Tacho schaust, siehst du nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten Minute. Du siehst exakt die Geschwindigkeit in diesem einen, winzigen Augenblick.

Aber wie kann man diese Momentangeschwindigkeit mathematisch berechnen, wenn sich das Tempo in jeder Millisekunde ändert? Die Antwort liefert uns ein Werkzeug aus der Mathematik: die Differentialrechnung (das Ableiten). In dieser Lektion zur Kinematik unter Verwendung der Analysis lernst du, wie wir physikalische Bewegungen mit mathematischen Ableitungen verknüpfen, um Geschwindigkeit und Beschleunigung zu jedem beliebigen Zeitpunkt exakt zu bestimmen!

Vorwissen

• Durchschnittsgeschwindigkeit:

  Formel: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

  Beispiel: Wenn du $100 \text{ m}$ in $10 \text{ s}$ läufst, ist deine Durchschnittsgeschwindigkeit $10 \text{ m/s}$.

• Ableitungsregeln (Polynome):

  Regel: $f(x) = x^{n} \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

  Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = 2x^{2}$ ist $f'(x) = 4x$.

Aufgabentyp 1: Geschwindigkeit und Beschleunigung als zeitliche Ableitungen

In der Kinematik unter Verwendung der Analysis betrachten wir die Bewegung von Körpern durch die Brille der Differentialrechnung. Bisher haben wir die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet, indem wir einen großen Zeitabschnitt $\Delta t$ betrachtet haben. Um die exakte Momentangeschwindigkeit zu finden, müssen wir das Zeitintervall $\Delta t$ mathematisch so klein wie möglich machen – es geht fast gegen null. In der Mathematik entspricht genau dieser Vorgang dem Ableiten.

• Die Geschwindigkeit gibt an, wie sich der Ort mit der Zeit verändert. Sie ist die erste Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit.

• Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit verändert. Sie ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit und somit die zweite Ableitung des Ortes.

Die Newtonsche Punktschreibweise:

In Mathe kennst du den Strich für die Ableitung: $f'(x)$. In der Physik leiten wir fast immer nach der Zeit $t$ ab. Um das besonders deutlich zu machen, hat der Physiker Isaac Newton eine eigene Schreibweise erfunden: Wir setzen einen Punkt über den Buchstaben statt eines Strichs!

• Geschwindigkeit: $\textcolor{#9570FF}{v(t)} = \textcolor{#08BFFF}{\dot{s}(t)}$ (sprich: „s Punkt von t“)

• Beschleunigung: $\textcolor{#FF7D57}{a(t)} = \textcolor{#9570FF}{\dot{v}(t)} = \textcolor{#08BFFF}{\ddot{s}(t)}$ (sprich: „s zwei Punkt von t“)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Ortsfunktion aufschreiben – Finde die Funktion $\textcolor{#08BFFF}{s(t)}$, die den Weg in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
2. Schritt 2: Erste Ableitung bilden (Geschwindigkeit) – Leite die Funktion $\textcolor{#08BFFF}{s(t)}$ einmal nach den normalen Mathe-Regeln ab. Das Ergebnis ist die Geschwindigkeitsfunktion $\textcolor{#9570FF}{v(t)} = \textcolor{#08BFFF}{\dot{s}(t)}$.
3. Schritt 3: Zweite Ableitung bilden (Beschleunigung) – Leite die Geschwindigkeitsfunktion noch einmal ab. Das ergibt die Beschleunigungsfunktion $\textcolor{#FF7D57}{a(t)} = \textcolor{#08BFFF}{\ddot{s}(t)}$.
4. Schritt 4: Zeitpunkt einsetzen – Setze die gesuchte Zeit $t$ in die neuen Gleichungen ein, um die exakten Werte für $v$ und $a$ zu berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die Momentangeschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit: $\textcolor{#9570FF}{v(t)} = \textcolor{#08BFFF}{\dot{s}(t)}$.
• Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite Ableitung des Ortes: $\textcolor{#FF7D57}{a(t)} = \textcolor{#9570FF}{\dot{v}(t)} = \textcolor{#08BFFF}{\ddot{s}(t)}$.
• Punktschreibweise: In der Physik bedeutet ein Punkt über der Variable (z.B. $\dot{s}$), dass nach der Zeit $t$ abgeleitet wird.