Was sind lineare Funktionen im Sachkontext?

Eine lineare Funktion im Sachkontext beschreibt eine gleichmäßige Veränderung in einer Textaufgabe. Das kann zum Beispiel ein Wassertank sein, der sich konstant füllt, oder ein Sparschwein, in das du jede Woche denselben Betrag wirfst. Im Koordinatensystem wird diese Veränderung immer als gerade Linie dargestellt.

Wie zeichnest du eine lineare Funktion aus einem Text?

Du brauchst dafür nicht viele Werte, sondern genau zwei Punkte . Lies aus dem Text zwei zusammengehörige Zahlenpaare ab (z. B. Zeit und Menge). Trage diese beiden Punkte als P(x|y) in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einem Lineal zu einer langen Geraden.

Warum ist das Zeichnen einer Geraden bei Textaufgaben nützlich?

Sobald du die Gerade gezeichnet hast, kannst du jeden beliebigen Wert einfach ablesen , ohne kompliziert rechnen zu müssen. Wenn du zum Beispiel wissen willst, wie viel Wasser nach 4 Minuten im Tank ist, gehst du auf der x-Achse zur 4, wanderst hoch zur Geraden und liest den passenden y-Wert ab.

Lineare Funktionen zeichnen (Sachaufgaben)

Stell dir vor, du lädst dein Smartphone auf. Der Akku füllt sich in einer sehr gleichmäßigen Geschwindigkeit. Woher weißt du, wie viel Prozent der Akku in genau $15 \text{ Minuten}$ haben wird, ohne ständig auf das Display zu schauen?

In der Mathematik können wir solche gleichmäßigen Veränderungen als eine lineare Funktion zeichnen. Wenn wir diese gerade Linie einmal haben, können wir jeden beliebigen Wert für die Zukunft (oder die Vergangenheit) einfach ablesen! Lass uns anschauen, wie wir Textaufgaben in übersichtliche Bilder verwandeln und lineare Funktionen zeichnen.

Vorwissen

Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer als $P(x \mid y)$ geschrieben. Der $x$ -Wert ist die waagerechte Achse (rechts/links), der $y$ -Wert die senkrechte Achse (oben/unten).

Beispiel: Bei $P(2 \mid 5)$ gehst du auf der $x$ -Achse zur $2$ und dann $5$ Schritte nach oben.
Gleichmäßige Änderung: Wenn etwas immer gleich schnell wächst oder schrumpft, ergibt das im Koordinatensystem eine gerade Linie.

Beispiel: Wenn du jeden Tag genau $2 \text{ €}$ sparst, bildet dein Erspartes im Graphen eine perfekte Gerade.

Aufgabentyp 1: Sachaufgaben als Gerade zeichnen

Oft bekommen wir Informationen in Form eines Textes, dem sogenannten Sachkontext. Wenn sich in diesem Text etwas mit einer konstanten (gleichmäßigen) Geschwindigkeit verändert, können wir das als lineare Funktion darstellen. Ein Beispiel dafür wäre ein Baum, der jedes Jahr um genau $2 \text{ m}$ wächst.

Da eine lineare Funktion im Koordinatensystem immer eine gerade Linie ist, können wir einen tollen Trick anwenden: Wir müssen nicht jeden einzelnen Wert ausrechnen! Es reicht völlig aus, wenn wir nur zwei Punkte aus dem Text herausfinden.

Sobald wir diese zwei Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und mit dem Lineal zu einer langen Linie verbinden, haben wir das gesamte Modell gezeichnet. An dieser Linie können wir dann ganz bequem neue, unbekannte Werte ablesen, ohne kompliziert rechnen zu müssen.

Wichtig ist dabei immer, dass wir uns zuerst überlegen, was unsere $x$ -Achse und was unsere $y$ -Achse bedeuten soll (zum Beispiel $x$ für die Zeit und $y$ für die Anzahl).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lege die Variablen fest: Überlege, welche zwei Größen im Text beschrieben werden (meistens Zeit auf der x-Achse, Menge auf der y-Achse).
Finde zwei Punkte heraus: Suche im Text nach zwei zusammengehörigen Zahlenpaaren und notiere sie als Punkte.
Zeichne die Gerade: Zeichne ein passendes Koordinatensystem, trage die Punkte ein und verbinde sie mit einem Lineal.
Lies den Wert ab: Suche den gesuchten Wert auf der Achse, gehe zur Geraden und lies den Zielwert auf der anderen Achse ab.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Wir betrachten die Influencerin Tamina und nehmen der Einfachheit halber an, dass ihre Follower-Anzahl in gleichmäßiger Geschwindigkeit steigt. Nach $10 \text{ Tagen}$ hat Tamina $30\,000 \text{ Follower}$ und nach $15 \text{ Tagen}$ bereits $35\,000 \text{ Follower}$ .

Zeichne die dazugehörige Gerade in ein Koordinatensystem. Lies an der Geraden ab, wie viele Follower Tamina nach $7 \text{ Tagen}$ hatte.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Variablen festlegen
Wir haben zwei Größen: Die Zeit in Tagen und die Anzahl der Follower. $x$ : Zeit in Tagen $y$ : Anzahl der Follower
2
Schritt 2
Zwei Punkte herausfinden
Aus dem Text lesen wir zwei Paare ab:
- Nach $10 \text{ Tagen}$ sind es $30\,000 \text{ Follower}$ : $P_1(10 \mid 30\,000)$
- Nach $15 \text{ Tagen}$ sind es $35\,000 \text{ Follower}$ : $P_2(15 \mid 35\,000)$
Schritt 3
Gerade zeichnen
Wir zeichnen ein Koordinatensystem, tragen $P_1$ und $P_2$ ein und ziehen eine Gerade durch beide Punkte.

Gerade durch zwei Punkte
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannten Wert ablesen
Wir suchen die Follower nach $\textcolor{#9570FF}{7 \text{ Tagen}}$ . Wir gehen auf der $x$ -Achse zur $7$ , wandern senkrecht nach oben bis zur Geraden und gehen von dort waagerecht nach links zur $y$ -Achse. Dort lesen wir den Wert $\textcolor{#9570FF}{27\,000}$ ab.

Wert an Gerade ablesen

Ergebnis:

Nach $7 \text{ Tagen}$ hatte Tamina $27\,000 \text{ Follower}$ .

Quiz zu Lineare Funktionen zeichnen aus Sachaufgaben: Teste dein Wissen

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Quizfrage 1 zu Lineare Funktionen zeichnen aus Sachaufgaben

Wie trägst du den Punkt $P(2 \mid 5)$ in ein Koordinatensystem ein?

Quizfrage 2 zu Lineare Funktionen zeichnen aus Sachaufgaben

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Welche Form hat der Graph, wenn du jeden Tag genau $2 \text{ €}$ sparst?

Übungsaufgabe zu Lineare Funktionen zeichnen aus Sachaufgaben

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Beispiel 1

Aufgabe

Ein Wassertank wird mit einer konstanten Geschwindigkeit befüllt. Nach $2 \text{ Minuten}$ befinden sich $15 \text{ Liter}$ im Tank, und nach $5 \text{ Minuten}$ sind es $30 \text{ Liter}$ .

Zeichne den Graphen und bestimme durch Ablesen, wie viel Liter Wasser sich nach $4 \text{ Minuten}$ im Tank befinden.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Variablen festlegen
$x$ : Zeit in Minuten $y$ : Volumen in Litern
2
Schritt 2
Zwei Punkte herausfinden
- Nach $2 \text{ Minuten}$ sind es $15 \text{ Liter}$ : $P_1(2 \mid 15)$
- Nach $5 \text{ Minuten}$ sind es $30 \text{ Liter}$ : $P_2(5 \mid 30)$
Schritt 3
Gerade zeichnen
Wir tragen die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden sie zu einer Geraden.

Gerade für Wassertank zeichnen
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannten Wert ablesen
Wir gehen auf der $x$ -Achse zur $\textcolor{#9570FF}{4}$ , wandern nach oben zur Geraden und lesen auf der $y$ -Achse den Wert $\textcolor{#9570FF}{25}$ ab.

Volumen an Gerade ablesen

Ergebnis:

Nach $4 \text{ Minuten}$ befinden sich $25 \text{ Liter}$ im Wassertank.

Wichtige Erkenntnisse

Gleichmäßig = Gerade: Eine konstante Veränderung im Text bedeutet immer, dass du eine gerade Linie zeichnen kannst.
Zwei Punkte genügen: Du brauchst nur zwei Zahlenpaare aus dem Text, um die gesamte Linie zu zeichnen.
Variablen klären: Überlege immer zuerst, was $x$ und was $y$ ist, bevor du zeichnest.

Lineare Funktionen zeichnen aus Sachaufgaben einfach erklärt

Lineare Funktionen zeichnen aus Sachaufgaben einfach erklärt

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