Was sind lineare Funktionen?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = mx + b , deren Graph eine gerade Linie ist. Dabei gibt m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt an. Sie beschreiben gleichmäßige Veränderungen, wie zum Beispiel konstante Kosten.

Wie kann man lineare Funktionen aufstellen, wenn zwei Punkte gegeben sind?

Zuerst berechnest du die Steigung m mit der Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1) . Danach setzt du die Steigung und einen der beiden Punkte in die allgemeine Gleichung y = mx + b ein und löst nach dem y-Achsenabschnitt b auf.

Wie liest man eine lineare Funktion aus einem Graphen ab?

Den y-Achsenabschnitt b liest du direkt dort ab, wo die Gerade die senkrechte y-Achse schneidet. Für die Steigung m suchst du dir einen zweiten gut ablesbaren Punkt und nutzt ein Steigungsdreieck oder die Steigungsformel.

Was bedeutet es, wenn zwei lineare Funktionen parallel sind?

Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, haben sie exakt die gleiche Steigung m . Du kannst also die Steigung der einen Geraden direkt für die Funktionsgleichung der anderen übernehmen.

Lineare Funktionen aufstellen

Wenn du lineare Funktionen aufstellen möchtest, stell dir vor, du bist ein Detektiv. Du hast nur zwei kleine Hinweise gefunden – zum Beispiel einen Fußabdruck und die Richtung, in die der Täter gelaufen ist. Deine Aufgabe ist es, den genauen Fluchtweg auf einer Karte einzuzeichnen.

In der Mathematik machen wir genau das Gleiche mit linearen Funktionen! Der „Fluchtweg“ ist eine gerade Linie. Die „Hinweise“ können einzelne Punkte, die Steigung oder ein Bild sein. Aus diesen wenigen Hinweisen können wir die komplette, exakte Funktionsgleichung rekonstruieren.

Unser Ziel ist dabei immer dasselbe: Wir müssen die Steigung und den Startwert herausfinden. Lass uns lernen, wie wir diese Hinweise entschlüsseln!

Vorwissen

Allgemeine Geradengleichung: Jede lineare Funktion hat die Form $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ (oder $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ ).

Beispiel: Bei $y = \textcolor{#08BFFF}{2}x \textcolor{#9570FF}{- 1}$ ist die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{m = 2}$ und der y-Achsenabschnitt $\textcolor{#9570FF}{b = -1}$ .
Steigung berechnen: Wenn man zwei Punkte $P_1(x_1 | y_1)$ und $P_2(x_2 | y_2)$ hat, berechnet man die Steigung mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Beispiel: Für $(1 | 2)$ und $(3 | 6)$ ist $m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .

Aufgabentyp 1: Aufstellen mit Punkt und Steigung

Um die Gleichung $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ aufzustellen, brauchen wir immer zwei Dinge: Die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Manchmal ist die Aufgabe sehr nett zu uns und verrät uns die Steigung m bereits direkt im Text. Zusätzlich bekommen wir einen Punkt $P(x | y)$ , der auf der Geraden liegt.

Da wir $\textcolor{#08BFFF}{m}$ schon kennen, fehlt uns nur noch $\textcolor{#9570FF}{b}$ . Um $\textcolor{#9570FF}{b}$ zu finden, nutzen wir einen einfachen Trick: Wir setzen alles, was wir wissen (die Steigung und die $x$ - und $y$ -Werte des Punktes), in die allgemeine Gleichung ein. Dann bleibt nur noch $\textcolor{#9570FF}{b}$ als Unbekannte übrig, und wir können die Gleichung danach auflösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Steigung und Punkt notieren: Schreibe dir die Steigung und die Koordinaten des Punktes übersichtlich auf.
Werte einsetzen: Ersetze das $y$ , das $x$ und das $m$ in der allgemeinen Gleichung durch deine Werte.
Nach b auflösen: Bringe die Zahlen auf eine Seite, sodass $b$ alleine steht.
Fertige Gleichung aufschreiben: Setze $m$ und $b$ in die Formel ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist eine Gerade $g$ , die durch den Punkt $P(2 | 3)$ verläuft und die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{m = 0{,}75}$ hat. Gib den Funktionsterm von $g$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung und Punkt notieren
Wir wissen: $\textcolor{#08BFFF}{m = 0{,}75}$ . Der Punkt ist $P(2 | 3)$ , also ist $x = 2$ und $y = 3$ .
Schritt 2
Werte in die allgemeine Gleichung einsetzen
Wir setzen alles in $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ ein: $3 = \textcolor{#08BFFF}{0{,}75} \cdot 2 + \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 3
Nach b auflösen
Wir rechnen zuerst $0{,}75 \cdot 2$ aus: $3 = 1{,}5 + \textcolor{#9570FF}{b}$ Nun bringen wir die $1{,}5$ auf die andere Seite, indem wir minus rechnen: $3 = 1{,}5 + \textcolor{#9570FF}{b} \quad | - 1{,}5$ $1{,}5 = \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 4 · Ergebnis
Fertige Gleichung aufschreiben
Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{m = 0{,}75}$ und $\textcolor{#9570FF}{b = 1{,}5}$ in die allgemeine Form ein.

Ergebnis:

Die Gerade $g$ wird durch die Gleichung $g(x) = \textcolor{#08BFFF}{0{,}75}x + \textcolor{#9570FF}{1{,}5}$ beschrieben.

Quiz zu Lineare Funktionen aufstellen: Teste dein Wissen

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Quizfrage 1 zu Lineare Funktionen aufstellen

Wie berechnet man die Steigung $m$ , wenn zwei Punkte $P_1(x_1 | y_1)$ und $P_2(x_2 | y_2)$ gegeben sind?

Quizfrage 2 zu Lineare Funktionen aufstellen

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Wie lautet die Funktionsgleichung einer Geraden mit der Steigung $m = 0{,}75$ , die durch den Punkt $P(2 | 3)$ verläuft?

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Aufgabentyp 2: Aufstellen mit Punkt und paralleler Gerade

Manchmal bekommst du die Steigung nicht direkt als Zahl genannt. Stattdessen heißt es: „Die gesuchte Gerade ist parallel zu einer anderen Geraden“.

Was bedeutet das für uns? Parallele Geraden verlaufen genau in die gleiche Richtung. Sie sind wie Eisenbahnschienen. Das bedeutet mathematisch: Parallele Geraden haben exakt die gleiche Steigung m!

Wenn du also die Steigung der einen Geraden kennst (oder berechnen kannst), kennst du automatisch auch die Steigung deiner gesuchten Geraden. Danach funktioniert alles genau wie im vorherigen Schema.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Steigung m bestimmen: Berechne oder übernimm die Steigung der parallelen Geraden.
Werte einsetzen: Setze die Steigung und den gegebenen Punkt in die allgemeine Gleichung ein.
Nach b auflösen: Löse die Gleichung nach dem y-Achsenabschnitt auf.
Fertige Gleichung aufschreiben: Notiere die finale Funktionsgleichung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Betrachtet wird eine Gerade $l$ , die durch die Punkte $P(-2 | -3)$ und $Q(1 | 4)$ verläuft. Gib den Funktionsterm einer Geraden $g$ an, die parallel zu $l$ verläuft und durch den Punkt $R(3 | 3)$ geht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung m bestimmen
Da die Geraden parallel sind, haben sie die gleiche Steigung. Wir berechnen zuerst die Steigung der Geraden $l$ mit den Punkten $P(-2 | -3)$ und $Q(1 | 4)$ : $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{4 - (-3)}{1 - (-2)}$ $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{7}{3}$ Unsere gesuchte Gerade $g$ hat also auch die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{m = \frac{7}{3}}$ .
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir nutzen nun unseren Punkt $R(3 | 3)$ und setzen ihn zusammen mit der Steigung in $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ ein: $3 = \textcolor{#08BFFF}{\frac{7}{3}} \cdot 3 + \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 3
Nach b auflösen
Wir rechnen $\frac{7}{3} \cdot 3$ aus (die $3$ kürzt sich weg): $3 = 7 + \textcolor{#9570FF}{b} \quad | - 7$ $-4 = \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 4 · Ergebnis
Fertige Gleichung aufschreiben
Wir setzen die berechneten Werte in die allgemeine Form ein.

Ergebnis:

Die zu $l$ parallele Gerade wird durch die Gleichung $g(x) = \textcolor{#08BFFF}{\frac{7}{3}}x \textcolor{#9570FF}{- 4}$ beschrieben.

Aufgabentyp 3: Aufstellen aus zwei Punkten

Was machen wir, wenn wir gar keine Steigung gegeben haben, sondern nur zwei Punkte, die auf der Geraden liegen?

Das ist kein Problem! Wir können die Steigung m einfach selbst berechnen. Dafür nutzen wir die Formel, die wir schon aus dem Vorwissen kennen: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Sobald wir die Steigung ausgerechnet haben, suchen wir uns einfach einen der beiden Punkte aus (es ist völlig egal, welchen du nimmst) und machen genau das Gleiche wie immer: Wir setzen den Punkt und die Steigung ein, um $\textcolor{#9570FF}{b}$ zu berechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Steigung m berechnen: Setze die beiden Punkte in die Steigungsformel ein.
Werte einsetzen: Wähle einen der beiden Punkte und setze ihn mit der Steigung in die Gleichung ein.
Nach b auflösen: Berechne den y-Achsenabschnitt.
Fertige Gleichung aufschreiben: Notiere die finale Funktionsgleichung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist eine Gerade $g$ , die durch die Punkte $P(2 | 3)$ und $Q(-1{,}5 | -4)$ verläuft. Gib den Funktionsterm von $g$ an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Steigung m berechnen
Wir setzen die beiden Punkte in die Steigungsformel ein: $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{-4 - 3}{-1{,}5 - 2}$ $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{-7}{-3{,}5}$ $\textcolor{#08BFFF}{m = 2}$
Schritt 2
Werte einsetzen
Wir suchen uns einen Punkt aus. $P(2 | 3)$ sieht einfacher aus, da er keine Kommazahlen hat. Wir setzen $x = 2$ , $y = 3$ und $\textcolor{#08BFFF}{m = 2}$ in $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ ein: $3 = \textcolor{#08BFFF}{2} \cdot 2 + \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 3
Nach b auflösen
$3 = 4 + \textcolor{#9570FF}{b} \quad | - 4$ $-1 = \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 4 · Ergebnis
Fertige Gleichung aufschreiben
Wir setzen die berechneten Werte in die allgemeine Form ein.

Ergebnis:

Die Gerade $g$ wird durch die Gleichung $g(x) = \textcolor{#08BFFF}{2}x \textcolor{#9570FF}{- 1}$ beschrieben.

Aufgabentyp 4: Aufstellen aus einer Wertetabelle

Eine Wertetabelle sieht auf den ersten Blick vielleicht kompliziert aus, aber eigentlich ist sie ein Geschenk! Eine Wertetabelle ist nämlich nichts anderes als eine Liste von Punkten.

Jede Spalte (oder Zeile) in der Tabelle gibt dir ein Paar aus einem $x$ -Wert und dem dazugehörigen $y$ -Wert. Das ist genau ein Punkt $P(x | y)$ .

Um die Funktionsgleichung aufzustellen, suchst du dir einfach zwei vollständige Punkte aus der Tabelle heraus. Danach rechnest du genau so weiter, als hättest du zwei Punkte gegeben (wie im vorherigen Kapitel). Wenn du die fertige Gleichung hast, kannst du sie benutzen, um fehlende Lücken in der Tabelle auszurechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zwei Punkte ablesen: Wähle zwei vollständige Spalten aus der Tabelle als Punkte.
Steigung berechnen: Nutze die Steigungsformel mit den beiden Punkten.
Werte einsetzen und nach b auflösen: Setze einen Punkt und die Steigung ein, um $b$ zu finden.
Funktionsgleichung aufstellen: Notiere die fertige Gleichung.
Fehlende Werte berechnen: Setze die übrigen $x$ -Werte ein, um die Tabelle zu vervollständigen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wir betrachten die folgende Wertetabelle, die zu einer linearen Funktion $f$ gehört.

$\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1{,}5 & & 2 & & \end{array}$

Gib die dazugehörige Funktion $f$ an und berechne die fehlenden Werte für die Tabelle.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zwei Punkte ablesen und Steigung berechnen
Wir suchen uns zwei Spalten aus, bei denen beide Zahlen vorhanden sind. Das sind die Punkte $P(-2 | 1{,}5)$ und $Q(0 | 2)$ . Damit berechnen wir die Steigung: $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{2 - 1{,}5}{0 - (-2)}$ $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{0{,}5}{2} = \textcolor{#08BFFF}{0{,}25}$
Schritt 2 & 3
Werte einsetzen und nach b auflösen
Wir nehmen den Punkt $Q(0 | 2)$ und setzen ihn ein: $2 = \textcolor{#08BFFF}{0{,}25} \cdot 0 + \textcolor{#9570FF}{b}$ Da $0{,}25 \cdot 0 = 0$ ist, sehen wir sofort: $2 = \textcolor{#9570FF}{b}$
Schritt 4
Funktionsgleichung aufstellen
Die Funktion lautet: $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{0{,}25}x + \textcolor{#9570FF}{2}$ .
4
Schritt 5 · Ergebnis
Fehlende Werte berechnen
Nun setzen wir die fehlenden $x$ -Werte in unsere neue Gleichung ein, um die Lücken zu füllen:
- Für $x = -1$ : $f(-1) = 0{,}25 \cdot (-1) + 2 = -0{,}25 + 2 = 1{,}75$
- Für $x = 1$ : $f(1) = 0{,}25 \cdot 1 + 2 = 0{,}25 + 2 = 2{,}25$
- Für $x = 2$ : $f(2) = 0{,}25 \cdot 2 + 2 = 0{,}5 + 2 = 2{,}5$

Ergebnis:

Die ausgefüllte Tabelle sieht so aus: $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1{,}5 & 1{,}75 & 2 & 2{,}25 & 2{,}5 \end{array}$

Aufgabentyp 5: Aufstellen aus einer Abbildung

Wenn du ein Bild von der Geraden in einem Koordinatensystem hast, kannst du dir oft viel Rechenarbeit sparen!

Den y-Achsenabschnitt b kannst du nämlich direkt ablesen: Es ist genau die Zahl auf der senkrechten y-Achse, bei der die Gerade die Achse schneidet.

Um die Steigung m zu finden, suchst du dir einen zweiten Punkt auf der Geraden, der genau auf einem Gitterkreuz liegt. Dann kannst du entweder ein Steigungsdreieck zeichnen und die Kästchen zählen, oder du liest die Koordinaten der beiden Punkte ab und rechnest die Steigung wie gewohnt mit der Formel aus.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

y-Achsenabschnitt ablesen: Finde den Schnittpunkt der Geraden mit der senkrechten y-Achse.
Steigung bestimmen: Suche einen zweiten Punkt und berechne die Steigung oder nutze ein Steigungsdreieck.
Funktionsgleichungen aufstellen: Setze $m$ und $b$ in die allgemeine Formel ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Es werden die im Koordinatensystem dargestellten Geraden $f$ und $g$ betrachtet.

Gib zu jeder Gerade den passenden Funktionsterm an.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
y-Achsenabschnitt ablesen
Wir schauen, wo die Geraden die senkrechte y-Achse schneiden:
- Gerade $f$ schneidet die y-Achse bei $-1$ . Also ist $\textcolor{#9570FF}{b = -1}$ .
- Gerade $g$ schneidet die y-Achse bei $3$ . Also ist $\textcolor{#9570FF}{b = 3}$ .
2
Schritt 2
Steigung bestimmen
Wir suchen uns für jede Gerade einen weiteren gut ablesbaren Punkt und berechnen die Steigung:
- Für Gerade $f$ : Wir lesen den Punkt $(-3 | 1)$ ab. Zusammen mit dem Schnittpunkt $(0 | -1)$ berechnen wir: $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{-1 - 1}{0 - (-3)} = \frac{-2}{3} = \textcolor{#08BFFF}{-\frac{2}{3}}$
- Für Gerade $g$ : Wir lesen den Punkt $(1 | 1)$ ab. Zusammen mit dem Schnittpunkt $(0 | 3)$ berechnen wir: $\textcolor{#08BFFF}{m} = \frac{1 - 3}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = \textcolor{#08BFFF}{-2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktionsgleichungen aufstellen
Wir setzen unsere gefundenen Werte für $\textcolor{#08BFFF}{m}$ und $\textcolor{#9570FF}{b}$ zusammen.

Ergebnis:

Die Funktionsgleichungen lauten $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{-\frac{2}{3}}x \textcolor{#9570FF}{- 1}$ und $g(x) = \textcolor{#08BFFF}{-2}x \textcolor{#9570FF}{+ 3}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Dein Ziel ist es immer, die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b zu finden.
Wenn du $\textcolor{#08BFFF}{m}$ und einen Punkt hast, setze beides in $y = \textcolor{#08BFFF}{m}x + \textcolor{#9570FF}{b}$ ein und löse nach $\textcolor{#9570FF}{b}$ auf.
Parallele Geraden haben immer exakt die gleiche Steigung.
Wenn du zwei Punkte hast (egal ob als Text oder in einer Wertetabelle), berechne zuerst die Steigung mit der Formel $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
Bei einem Graphen kannst du den y-Achsenabschnitt $\textcolor{#9570FF}{b}$ direkt auf der senkrechten Achse ablesen.

Lineare Funktionen aufstellen einfach erklärt: Schritt für Schritt