Lineare Gleichungen lösen einfach erklärt: Zeichnen & Rechnen

Stell dir vor, du und dein bester Freund spart auf ein neues Videospiel. Du hast schon $20$ Euro und sparst jede Woche $5$ Euro. Dein Freund hat erst $5$ Euro, spart aber jede Woche $10$ Euro. Wann habt ihr genau gleich viel Geld?

Solche Fragen lassen sich beantworten, indem wir lineare Gleichungen lösen! In diesem Artikel lernst du, wie du herausfindest, wann zwei Dinge genau gleich sind – entweder durch Zeichnen oder durch Rechnen.

Vorwissen

• Lineare Funktionen: Eine Funktion der Form $y = mx + b$ beschreibt eine gerade Linie im Koordinatensystem. Beispiel: $y = 2x + 1$ ist die Gleichung einer Geraden.
• Punkte berechnen: Man setzt einen $x$-Wert in die Funktion ein, um den passenden $y$-Wert zu finden. Beispiel: Für $x = 2$ bei $y = 2x + 1$ rechnet man $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Der Punkt ist $(2 \mid 5)$.
• Äquivalenzumformungen: Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe rechnen, um $x$ alleine stehen zu lassen. Beispiel: $x + 3 = 5 \quad | -3 \implies x = 2$.

Aufgabentyp 1: Gleichungen graphisch lösen

Wenn wir eine Gleichung wie $2x - 1 = -x + 5$ sehen, suchen wir den $x$-Wert, bei dem beide Seiten genau gleich groß sind.

Wir können das zeichnerisch lösen, indem wir jede Seite der Gleichung als eine eigene lineare Funktion betrachten:

Linke Seite: $\textcolor{#08BFFF}{y = 2x - 1}$

Rechte Seite: $\textcolor{#9570FF}{y = -x + 5}$

Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen, gibt es einen Punkt, an dem sie sich kreuzen. Dieser Punkt heißt Schnittpunkt. An genau diesem Punkt haben beide Geraden denselben $x$-Wert und denselben $y$-Wert.

Die Lösung unserer Gleichung ist einfach die $x$-Koordinate dieses Schnittpunkts!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Geradengleichungen aufstellen: Schreibe die linke und die rechte Seite der Gleichung als zwei separate Funktionen mit $y = \dots$ auf.
2. Punkte berechnen: Wähle für jede Gerade zwei einfache $x$-Werte (zum Beispiel $x=0$ und $x=2$) und berechne die passenden $y$-Werte. So erhältst du zwei Punkte pro Gerade.
3. Geraden zeichnen: Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie jeweils zu einer langen, geraden Linie.
4. Schnittpunkt ablesen: Finde den Punkt, an dem sich die beiden Geraden kreuzen. Die $x$-Koordinate dieses Punktes ist die Lösung deiner Gleichung!

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Gleichungen rechnerisch lösen

Das Zeichnen von Geraden ist toll, um zu verstehen, was passiert. Aber manchmal ist der Schnittpunkt schwer abzulesen, zum Beispiel wenn er bei $x = 1{,}37$ liegt. Deshalb müssen wir Gleichungen auch rechnerisch lösen können.

Das Ziel ist es, die Gleichung so lange umzuformen, bis das $x$ ganz alleine auf einer Seite steht. Dafür nutzen wir Äquivalenzumformungen (wir machen auf beiden Seiten immer genau das Gleiche).

Beispiel: $4x - 7 = 5$

Wir wollen die $-7$ wegbekommen. Das Gegenteil von Minus ist Plus. Also rechnen wir auf beiden Seiten $+7$:

$4x = 12$

Jetzt stört noch die $4$. Zwischen der $4$ und dem $x$ steht ein unsichtbares Malzeichen ($4 \cdot x$). Das Gegenteil von Mal ist Geteilt. Wir rechnen also auf beiden Seiten $\div 4$:

$x = 3$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Zahlen auf eine Seite bringen: Nutze Plus oder Minus, um alle Zahlen ohne $x$ auf eine Seite der Gleichung zu schieben.
2. x-Terme auf die andere Seite bringen: Nutze Plus oder Minus, um alle Terme mit $x$ auf die andere Seite zu schieben.
3. Durch die Zahl vor dem x teilen: Teile beide Seiten der Gleichung durch die Zahl, die direkt vor dem $x$ steht, damit das $x$ alleine bleibt.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Schnittpunkte von zwei Funktionen berechnen

Oft haben wir nicht nur eine Gleichung, sondern zwei fertige Funktionen, wie zum Beispiel $f(x) = 3x - 4$ und $g(x) = -2x + 11$. Die Aufgabe lautet dann: Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Ein Schnittpunkt besteht immer aus zwei Werten: einer $x$-Koordinate und einer $y$-Koordinate, also $(x \mid y)$.

Um diesen Punkt zu finden, kombinieren wir das, was wir bisher gelernt haben! Da die Geraden am Schnittpunkt genau denselben $y$-Wert haben, können wir ihre Funktionsterme einfach gleichsetzen. Dadurch entsteht eine normale Gleichung, die wir nach $x$ auflösen können. Sobald wir $x$ haben, setzen wir es in eine der Funktionen ein, um $y$ zu berechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Funktionen gleichsetzen: Schreibe die beiden Funktionsterme mit einem Gleichheitszeichen dazwischen auf: $f(x) = g(x)$.
2. x-Koordinate berechnen: Löse die entstandene Gleichung mit Äquivalenzumformungen nach $x$ auf. Das Ergebnis ist die $x$-Koordinate des Schnittpunkts.
3. y-Koordinate berechnen: Setze den gefundenen $x$-Wert in eine der beiden ursprünglichen Funktionen (egal ob $f(x)$ oder $g(x)$) ein und rechne das Ergebnis aus. Das ist deine $y$-Koordinate.
4. Schnittpunkt notieren: Schreibe dein Endergebnis als Punkt auf: $(x \mid y)$.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Graphisch lösen: Beide Seiten der Gleichung als Geraden zeichnen. Die $x$-Koordinate des Schnittpunkts ist die Lösung.
• Rechnerisch lösen: Die Gleichung mit Äquivalenzumformungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) so umstellen, dass $x$ alleine steht.
• Schnittpunkt berechnen: Beide Funktionen gleichsetzen ($f(x) = g(x)$), nach $x$ auflösen und den Wert danach einsetzen, um $y$ zu finden. Der Punkt ist $(x \mid y)$.