Wie löst du eine lineare Ungleichung rechnerisch?

Das Lösen läuft fast genauso wie bei linearen Gleichungen: Vereinfache beide Seiten, bringe alle x-Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite, und teile dann durch den Koeffizienten vor x. Das Ergebnis schreibst du als Lösungsmenge in Mengenschreibweise auf, z. B. 𝕃 = {x ∈ ℝ | x < 3} . Die einzige Besonderheit ist die Sonderregel beim Vorzeichen – lies dazu die nächste Frage.

Wann musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen?

Du musst das Ungleichheitszeichen umdrehen , sobald du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst . Aus < wird dann > , aus ≥ wird ≤ usw. Bei Addition oder Subtraktion – egal ob positive oder negative Zahl – bleibt das Zeichen immer gleich. Diese Regel ist der häufigste Stolperstein bei Ungleichungen.

Wie löst du eine Ungleichung graphisch?

Beim graphischen Lösen betrachtests du die linke Seite als Funktion f(x) und die rechte Seite als Funktion g(x) . Du zeichnest beide Geraden in dasselbe Koordinatensystem, liest den Schnittpunkt ab und schaust dann, auf welcher Seite des Schnittpunkts die gesuchte Bedingung erfüllt ist – also wo f(x) unter oder über g(x) liegt. Der abgelesene x-Bereich ist deine Lösungsmenge.

Was ist die Lösungsmenge einer Ungleichung?

Die Lösungsmenge 𝕃 fasst alle reellen Zahlen zusammen, die die Ungleichung erfüllen. Sie wird in Mengenschreibweise angegeben, zum Beispiel 𝕃 = {x ∈ ℝ | x ≤ 4} . Ergibt das Lösen eine immer wahre Aussage, ist die Lösungsmenge ℝ (alle reellen Zahlen). Ergibt es eine immer falsche Aussage, ist die Lösungsmenge leer: 𝕃 = ∅ .

Lineare Ungleichungen lösen

Q: Was ist eine lineare Ungleichung?

Eine lineare Ungleichung besagt, dass ein Term größer ( > ), kleiner ( < ), größer-gleich ( ≥ ) oder kleiner-gleich ( ≤ ) als ein anderer ist. Anders als bei einer Gleichung gibt es oft nicht nur eine, sondern unendlich viele Zahlen , die die Ungleichung erfüllen. Diese Zahlen bilden die Lösungsmenge 𝕃 . Lineare Ungleichungen tauchen überall dort auf, wo du vergleichst, welche Option günstiger, größer oder besser ist.

Q: Wann musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen?

Du musst das Ungleichheitszeichen umdrehen , sobald du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst . Aus < wird dann > , aus ≥ wird ≤ usw. Bei Addition oder Subtraktion – egal ob positive oder negative Zahl – bleibt das Zeichen immer gleich. Diese Regel ist der häufigste Stolperstein bei Ungleichungen.

Lineare Ungleichungen lösen ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in der Mittelstufe – und viel nützlicher als du vielleicht denkst. Stell dir vor, du vergleichst zwei Handyverträge: Vertrag A kostet 20 € Grundgebühr und 10 Cent pro Gigabyte, Vertrag B hat keine Grundgebühr, aber 50 Cent pro Gigabyte. Ab wie vielen Gigabyte ist Vertrag A günstiger? Das ist eine klassische Ungleichung! Du rechnest nicht aus, wann sie gleich sind, sondern wann eine Seite besser ist. Dieses Wissen ist ein echter Cheat-Code fürs Leben: Du kannst damit bessere finanzielle Entscheidungen treffen, Angebote vergleichen oder sogar in Spielen die optimale Strategie finden.

Schnellantwort

Eine Ungleichung besagt, dass ein Term größer ( $>$ ), kleiner ( $<$ ), größer-gleich ( $\ge$ ) oder kleiner-gleich ( $\le$ ) als ein anderer ist. Anders als bei Gleichungen gibt es oft nicht nur eine, sondern unendlich viele Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Diese Zahlen bilden die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ . Das Lösen funktioniert fast genauso wie bei linearen Gleichungen – mit einer entscheidenden Sonderregel beim Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz, was du schon können solltest:

Lineare Gleichungen lösen: Du weißt, wie man eine Gleichung nach x auflöst, indem man auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführt.
- Beispiel: $3x - 5 = 10 \\ | +5 \\ \to \ 3x = 15 \\ | \div 3 \\ \to \ x = 5$
Terme vereinfachen: Du kannst Klammern ausmultiplizieren und Terme zusammenfassen.
- Beispiel: $4 \cdot (x + 2) - 3 = 4x + 8 - 3 = 4x + 5$
Lineare Funktionen zeichnen: Du kannst eine Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen, z. B. mit Hilfe von zwei Punkten.
- Beispiel: Für $y = 2x - 1$ setzen wir $x=0$ ein, um $P_1(0|-1)$ zu erhalten, und $x=2$ , um $P_2(2|3)$ zu erhalten. Dann verbinden wir die Punkte.

Aufgabentyp 1: Ungleichungen rechnerisch lösen

Beim rechnerischen Lösen linearer Ungleichungen gehst du fast genauso vor wie beim Lösen linearer Gleichungen. Eine Ungleichung besagt, dass ein Term größer ( $>$ ), kleiner ( $<$ ), größer-gleich ( $\ge$ ) oder kleiner-gleich ( $\le$ ) als ein anderer ist. Anders als bei Gleichungen gibt es oft nicht nur eine, sondern unendlich viele Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Diese Zahlen bilden die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ .

Das Lösen funktioniert fast genauso wie bei Gleichungen. Es gibt aber eine extrem wichtige Sonderregel:

Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen!

Aus $<$ wird $>$
Aus $>$ wird $<$
Aus $\le$ wird $\ge$
Aus $\ge$ wird $\le$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Vereinfache beide Seiten: Klammern auflösen, gleiche Terme zusammenfassen.
Bringe alle x-Terme auf eine Seite der Ungleichung.
Bringe alle Zahlen auf die gegenüberliegende Seite.
Löse nach x auf – teile durch den Koeffizienten vor x. Achtung: Bei einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen!
Gib die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ in Mengenschreibweise an, z. B. $\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 5\}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $3x + 4 < 13$ rechnerisch.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2 sind hier nicht nötig, da die Terme bereits vereinfacht und die x-Terme auf einer Seite sind.
Schritt 3
Alle Zahlen auf die andere Seite bringen
Wir subtrahieren 4, um die Zahl auf die rechte Seite zu bringen.

$3x + 4 < 13 \quad | -4$

$3x < 9$
Schritt 4
Nach x auflösen
Wir teilen durch 3. Da 3 positiv ist, ändert sich das Zeichen nicht.

$3x < 9 \quad | \div 3$

$x < 3$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösungsmenge enthält alle reellen Zahlen, die kleiner als 3 sind.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 3\}$

Quiz zu Lineare Ungleichungen lösen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Lineare Ungleichungen lösen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Lineare Ungleichungen lösen

Was passiert bei einer Ungleichung zwingend, wenn durch eine negative Zahl dividiert wird?

Quizfrage 2 zu Lineare Ungleichungen lösen

Bei $<$ oder $\le$ suchen wir den Bereich, wo die erste Funktion unter der zweiten liegt.
Bei $>$ oder $\ge$ suchen wir den Bereich, wo die erste Funktion über der zweiten liegt.

Der entscheidende Punkt ist immer der Schnittpunkt der beiden Geraden. Links oder rechts davon ist eine der Geraden immer „die obere".

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Stelle zwei Geradengleichungen auf: Linke Seite als $f(x)$ , rechte Seite als $g(x)$ .
Zeichne beide Geraden in dasselbe Koordinatensystem (je zwei Punkte berechnen und verbinden).
Finde den Schnittpunkt und lies die x-Koordinate ab.
Lies den Lösungsbereich ab: Prüfe, auf welcher Seite des Schnittpunkts die Ungleichungsbedingung erfüllt ist.
Gib die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $x + 1 < -x + 5$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Linke Seite: $f(x) = x + 1$
- Rechte Seite: $g(x) = -x + 5$
2
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
Wir berechnen für jede Gerade zwei Punkte:
- Für $f(x)$ : $P_1(0|1)$ und $P_2(2|3)$
- Für $g(x)$ : $Q_1(0|5)$ und $Q_2(2|3)$
Wir zeichnen die Geraden.

Zwei Geraden f und g im Koordinatensystem
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Aus der Zeichnung lesen wir den Schnittpunkt ab: $S(2|3)$ . Die x-Koordinate ist $x=2$ .
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo $f(x) < g(x)$ ist, also wo der blaue Graph unter dem türkisen liegt. Das ist für alle x-Werte links vom Schnittpunkt der Fall.

Lösungsbereich links vom Schnittpunkt markiert
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Der Lösungsbereich ist $x < 2$ .

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $2x - 2 \ge -0.5x + 3$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Linke Seite: $f(x) = 2x - 2$
- Rechte Seite: $g(x) = -0.5x + 3$
2
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
- Für $f(x)$ : $P_1(0|-2)$ und $P_2(2|2)$
- Für $g(x)$ : $Q_1(0|3)$ und $Q_2(2|2)$
Geraden f und g mit Schnittpunkt bei x=2
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Der Schnittpunkt ist bei $S(2|2)$ . Die x-Koordinate ist $x=2$ .
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo $f(x) \ge g(x)$ ist, also wo der blaue Graph über oder auf dem türkisen liegt. Das ist für alle x-Werte rechts vom Schnittpunkt (einschließlich des Schnittpunkts) der Fall.

Lösungsbereich rechts vom Schnittpunkt markiert
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Der Lösungsbereich ist $x \ge 2$ .

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 2\}$

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $3 > -x + 1$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Linke Seite: $f(x) = 3$ (eine waagerechte Gerade)
- Rechte Seite: $g(x) = -x + 1$
2
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
- Für $f(x)$ : Die Gerade verläuft horizontal auf der Höhe y=3.
- Für $g(x)$ : $Q_1(0|1)$ und $Q_2(1|0)$
Waagerechte Gerade f und fallende Gerade g
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Der Schnittpunkt ist bei $S(-2|3)$ . Die x-Koordinate ist $x=-2$ .
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo $f(x) > g(x)$ ist, also wo der blaue Graph über dem türkisen liegt. Das ist für alle x-Werte rechts vom Schnittpunkt der Fall.

Lösungsbereich rechts von x=-2 markiert
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Der Lösungsbereich ist $x > -2$ .

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -2\}$

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $x \le 3$ graphisch.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
Diese Ungleichung ist ein Sonderfall. Wir können sie als Vergleich mit einer senkrechten Linie interpretieren.
- Linke Seite: $x$
- Rechte Seite: $3$
Schritt 2
Grenze einzeichnen
Wir zeichnen eine senkrechte Linie bei $x=3$ . Diese Linie ist unsere Grenze.

Senkrechte Grenzlinie bei x=3
Schritt 3 & 4
Lösungsbereich ablesen
Die Ungleichung lautet $x \le 3$ . Das bedeutet, wir suchen alle x-Werte, die kleiner oder gleich 3 sind. Das ist der gesamte Bereich links von unserer senkrechten Linie, einschließlich der Linie selbst.

Lösungsbereich links von x=3 einschließlich Grenze
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Der Lösungsbereich ist $x \le 3$ .

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 3\}$

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $x+2 > x+4$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Linke Seite: $f(x) = x + 2$
- Rechte Seite: $g(x) = x + 4$
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
Wir stellen fest, dass beide Geraden die gleiche Steigung ( $m=1$ ) haben. Sie sind parallel.

Zwei parallele Geraden ohne Schnittpunkt
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Parallele Geraden schneiden sich nie. Es gibt keinen Schnittpunkt.
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo $f(x) > g(x)$ ist, also wo der blaue Graph über dem türkisen liegt. Wie wir in der Zeichnung sehen, liegt der blaue Graph immer unter dem türkisen Graphen. Die Bedingung ist also nie erfüllt.
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Es gibt keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{\}$

Aufgabentyp 3: Ungleichungen zu einer Lösungsmenge finden

Manchmal ist die Aufgabe umgekehrt: Du hast die Lösungsmenge und sollst passende Ungleichungen finden. Das ist wie „Rückwärtsrechnen".

Du startest mit der einfachsten denkbaren Ungleichung, die genau diese Lösungsmenge hat. Zum Beispiel ist für die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{x \mid x > 4\}$ die einfachste Ungleichung $x > 4$ .

Von dieser einfachen Form aus kannst du durch erlaubte Umformungen (Äquivalenzumformungen) unendlich viele kompliziertere Ungleichungen erstellen, die aber alle dieselbe Lösungsmenge haben.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die einfachste Ungleichung auf: Übersetze die gegebene Lösungsmenge direkt (z. B. $\mathbb{L} = \{x \mid x \le -1\}$ wird zu $x \le -1$ ).
Wähle eine erlaubte Umformung: Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division (nicht mit 0).
Wende die Umformung an und notiere die neue Ungleichung. Denk an die Sonderregel bei negativen Zahlen!
Wiederhole Schritte 2 und 3, um weitere verschiedene Ungleichungen zu erzeugen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gib drei verschiedene Ungleichungen an, welche die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x > 5\}$ besitzen.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung aufschreiben
Die einfachste Ungleichung ist $x > 5$ .
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen anwenden
1. Ungleichung (Addition): Wir addieren 3 auf beiden Seiten.

$x > 5 \quad | +3$

$\to x + 3 > 8$

2. Ungleichung (Multiplikation mit positiver Zahl): Wir multiplizieren mit 2.

$x > 5 \quad | \cdot 2$

$\to 2x > 10$

3. Ungleichung (Multiplikation mit negativer Zahl): Wir multiplizieren mit -1. Achtung, das Zeichen dreht sich um!

$x > 5 \quad | \cdot (-1)$

$\to -x < -5$

Ergebnis:

Drei mögliche Ungleichungen sind $x+3 > 8$ , $2x > 10$ und $-x < -5$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gib drei verschiedene Ungleichungen an, welche die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x \le -2\}$ besitzen.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung aufschreiben
Die einfachste Ungleichung ist $x \le -2$ .
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen anwenden
1. Ungleichung (Subtraktion): Wir subtrahieren 10.

$x \le -2 \quad | -10$

$\to x - 10 \le -12$

2. Ungleichung (Division durch positive Zahl): Wir teilen durch 2.

$x \le -2 \quad | \div 2$

$\to 0.5x \le -1$

3. Ungleichung (komplexer): Wir multiplizieren zuerst mit 3 und addieren dann 1.

$x \le -2 \quad | \cdot 3$

$3x \le -6 \quad | +1$

$\to 3x + 1 \le -5$

Ergebnis:

Drei mögliche Ungleichungen sind $x - 10 \le -12$ , $0.5x \le -1$ und $3x + 1 \le -5$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gib drei verschiedene Ungleichungen an, welche die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x \ge 0\}$ besitzen.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung aufschreiben
Die einfachste Ungleichung ist $x \ge 0$ .
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen anwenden
1. Ungleichung (Addition): Wir addieren 7.

$x \ge 0 \quad | +7$

$\to x + 7 \ge 7$

2. Ungleichung (Multiplikation mit negativer Zahl): Wir multiplizieren mit -5. Das Zeichen dreht sich um!

$x \ge 0 \quad | \cdot (-5)$

$\to -5x \le 0$

3. Ungleichung (komplexer): Wir subtrahieren 1 und multiplizieren dann mit 4.

$x \ge 0 \quad | -1$

$x - 1 \ge -1 \quad | \cdot 4$

$\to 4(x-1) \ge -4$

Ergebnis:

Drei mögliche Ungleichungen sind $x + 7 \ge 7$ , $-5x \le 0$ und $4(x-1) \ge -4$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gib eine Ungleichung an, die $2x-1 < 5$ entspricht, aber keine Brüche oder Dezimalzahlen enthält.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung aufschreiben
Wir lösen zuerst die gegebene Ungleichung, um die Lösungsmenge zu finden.

$2x - 1 < 5 \quad | +1$

$2x < 6 \quad | \div 2$

$x < 3$

Die einfachste Ungleichung ist also $x < 3$ .
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformung anwenden
Wir wollen eine neue Ungleichung ohne Brüche. Wir können zum Beispiel mit 10 multiplizieren und dann eine Zahl addieren.

$x < 3 \quad | \cdot 10$

$10x < 30 \quad | -5$

$10x - 5 < 25$

Diese neue Ungleichung hat dieselbe Lösungsmenge und enthält keine Brüche.

Ergebnis:

Eine mögliche Ungleichung ist $10x - 5 < 25$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gib eine Ungleichung an, die die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x > -1.5\}$ besitzt und bei der auf beiden Seiten ein x-Term steht.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung aufschreiben
Die einfachste Ungleichung ist $x > -1.5$ .
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformung anwenden
Um auf beiden Seiten einen x-Term zu haben, können wir auf beiden Seiten einen x-Term addieren oder subtrahieren. Addieren wir z. B. $2x$ .

$x > -1.5 \quad | +2x$

$3x > 2x - 1.5$

Jetzt können wir noch mit 2 multiplizieren, um die Dezimalzahl loszuwerden.

$3x > 2x - 1.5 \quad | \cdot 2$

$6x > 4x - 3$

Ergebnis:

Eine mögliche Ungleichung ist $6x > 4x - 3$ .

Wichtige Erkenntnisse

Das Lösen von Ungleichungen funktioniert wie das Lösen von Gleichungen: durch Umformungen auf beiden Seiten.
Die goldene Regel: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen ( $< \to >$ , $> \to <$ , usw.).
Graphische Lösung: Die linke und rechte Seite als Geraden zeichnen. Die Lösung ist der x-Bereich, in dem eine Gerade über oder unter der anderen liegt.
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ fasst alle Zahlen zusammen, die die Ungleichung erfüllen.

Lineare Ungleichungen lösen: Schritt für Schritt erklärt