Linearität überprüfen einfach erklärt: Punkte auf einer Geraden

Stell dir vor, du baust einen Zaun und möchtest drei Pfosten in einer perfekt geraden Linie aufstellen. Du schlägst die ersten beiden Pfosten in den Boden und spannst eine Schnur stramm dazwischen. Um zu prüfen, ob der dritte Pfosten richtig steht, schaust du einfach, ob er genau die gespannte Schnur berührt.

In der Mathematik machen wir genau das Gleiche mit Punkten in einem Koordinatensystem, wenn wir die Linearität überprüfen! Wir prüfen, ob drei Punkte auf derselben geraden Linie (einer Geraden) liegen. Lass uns herausfinden, wie das rechnerisch funktioniert, ohne dass wir alles zeichnen müssen.

Schnellantwort

Linearität überprüfen bedeutet in der Mathematik zu testen, ob drei Punkte auf derselben Geraden liegen. Dazu stellst du mit zwei der gegebenen Punkte eine Geradengleichung auf. Anschließend machst du mit dem dritten Punkt eine Punktprobe, um zu sehen, ob er diese Gleichung erfüllt.

Vorwissen

• Steigung berechnen: Mit zwei Punkten berechnest du die Steigung $m$ durch $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Beispiel: Für $(1 \mid 2)$ und $(3 \mid 6)$ ist $m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.
• Geradengleichung: Die allgemeine Form lautet $y = mx + b$. Beispiel: Mit $m=2$ und $b=1$ heißt die Gerade $y = 2x + 1$.
• Punktprobe: Du setzt den $x$-Wert eines Punktes in die Gleichung ein und prüfst, ob der richtige $y$-Wert herauskommt. Beispiel: Liegt $(2 \mid 5)$ auf $y = 2x + 1$? Rechne: $2 \cdot 2 + 1 = 5$. Ja, der Punkt liegt auf der Geraden!

Aufgabentyp 1: Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Wenn wir die Linearität überprüfen und drei Punkte gegeben haben, sieht das auf den ersten Blick nach viel Arbeit aus. Aber der Trick ist ganz einfach: Wir wissen, dass zwei Punkte immer genau eine gerade Linie bilden.

Wir nehmen uns also einfach zwei der drei Punkte (meistens die ersten beiden) und stellen damit unsere Geradengleichung auf. Das ist sozusagen unsere „gespannte Schnur“.

Sobald wir die Gleichung für diese Gerade haben, müssen wir nur noch herausfinden, ob der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt. Dafür machen wir eine einfache Punktprobe. Wenn das Ergebnis stimmt, liegen alle drei Punkte auf einer Linie. Wenn nicht, tanzt der dritte Punkt aus der Reihe!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Steigung $m$ berechnen Nimm die ersten beiden Punkte und setze sie in die Steigungsformel $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ein.
2. Schritt 2: $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnen Setze die berechnete Steigung $m$ und einen der beiden ersten Punkte in die Gleichung $y = mx + b$ ein. Löse dann nach $b$ auf.
3. Schritt 3: Geradengleichung aufstellen Schreibe die fertige Gleichung mit deinem berechneten $m$ und $b$ auf.
4. Schritt 4: Punktprobe mit dem dritten Punkt Setze den $x$-Wert des dritten Punktes in deine fertige Gleichung ein.
   • Kommt der $y$-Wert des dritten Punktes heraus? $\to$ Die Punkte liegen auf einer Geraden.
   • Kommt ein anderer Wert heraus? $\to$ Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Zwei Punkte reichen immer aus, um eine Geradengleichung aufzustellen.
• Um einen dritten Punkt zu überprüfen, machst du eine Punktprobe mit dieser Gleichung.
• Stimmt das Ergebnis der Punktprobe, liegen alle drei Punkte auf einer Linie. Stimmt es nicht, liegt der dritte Punkt daneben.