Was sind lineare Funktionen?

Eine lineare Funktion ist eine mathematische Zuordnung, deren Graph im Koordinatensystem eine gerade Linie bildet. Sie hat meist die Form f(x) = mx + b . Du kannst lineare Funktionen zeichnen, um gleichmäßige Entwicklungen, wie zum Beispiel regelmäßiges Sparen, anschaulich darzustellen.

Wie zeichnest du den Graphen einer linearen Funktion?

Um den Graphen zu zeichnen, brauchst du nur zwei Punkte . Wähle zwei beliebige x-Werte (am besten 0 und eine kleine Zahl), setze sie in die Funktionsgleichung ein und berechne die y-Werte. Trage die beiden Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einem Lineal.

Welche x-Werte sollte ich zum Zeichnen wählen?

Am einfachsten ist es, wenn du als ersten Wert x = 0 wählst, da das die Rechnung stark vereinfacht. Wenn die Funktionsgleichung einen Bruch enthält, wähle als zweiten x-Wert die Zahl, die im Nenner steht. So kürzt sich der Bruch direkt weg!

Lineare Funktionen zeichnen

Stell dir vor, du hast bereits $50 \text{ €}$ gespart und nimmst dir vor, jede Woche genau $10 \text{ €}$ dazuzulegen. Wenn du wissen willst, wie viel Geld du nach einer bestimmten Anzahl von Wochen hast, kannst du das natürlich für jede Woche einzeln ausrechnen.

Noch übersichtlicher ist es aber, wenn du diese Entwicklung als Bild zeichnest! Ein solcher Graph zeigt dir auf einen Blick, wann du genug Geld für dein Ziel zusammen hast. Genau das machen wir, wenn wir lineare Funktionen zeichnen: Wir verwandeln eine mathematische Gleichung in eine sichtbare, gerade Linie. Lass uns anschauen, wie du jede beliebige lineare Funktion ganz einfach zeichnen kannst!

Vorwissen

Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer in der Form $P(x \mid y)$ angegeben. Der erste Wert ist die Position auf der waagerechten $x$ -Achse, der zweite Wert ist die Position auf der senkrechten $y$ -Achse.

Beispiel: Für den Punkt $P(3 \mid 4)$ gehst du vom Ursprung aus $3$ Schritte nach rechts und $4$ Schritte nach oben.

Aufgabentyp 1: Lineare Funktionen zeichnen mit dem Funktionsterm

Eine lineare Funktion hat immer eine Gleichung, die zum Beispiel so aussieht: $f(x) = 2x - 1$ . Das $f(x)$ ist dabei nichts anderes als unser $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Wert}}$ .

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine schnurgerade Linie. Das ist ein riesiger Vorteil für uns! Um eine gerade Linie mit einem Lineal zu zeichnen, brauchen wir nämlich nicht unendlich viele Punkte, sondern genau zwei Stück.

Um diese zwei Punkte zu finden, dürfen wir uns zwei völlig beliebige $\textcolor{#08BFFF}{x\text{-Werte}}$ aussuchen. Wir setzen sie in die Gleichung ein und berechnen den passenden $\textcolor{#9570FF}{y\text{-Wert}}$ :

Wir wählen $\textcolor{#08BFFF}{x = 0}$ : $f(0) = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{0} - 1 = \textcolor{#9570FF}{-1}$ Unser erster Punkt ist also $P_1(\textcolor{#08BFFF}{0} \mid \textcolor{#9570FF}{-1})$ .
Wir wählen $\textcolor{#08BFFF}{x = 2}$ : $f(2) = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{2} - 1 = 4 - 1 = \textcolor{#9570FF}{3}$ Unser zweiter Punkt ist also $P_2(\textcolor{#08BFFF}{2} \mid \textcolor{#9570FF}{3})$ .

Jetzt müssen wir diese beiden Punkte nur noch in ein Koordinatensystem eintragen und mit einer geraden Linie verbinden.

Tipp: Du kannst mit dieser Methode auch überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf der Geraden liegt. Wenn du den $x$ -Wert des Punktes in die Gleichung einsetzt und genau der $y$ -Wert des Punktes als Ergebnis herauskommt, dann liegt der Punkt auf der Geraden!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wähle zwei schlaue $x$ -Werte aus, am besten $x = 0$ und eine kleine Zahl wie $1$ oder $2$ .
Setze die $x$ -Werte in den Funktionsterm ein und berechne die zugehörigen $y$ -Werte.
Zeichne das Koordinatensystem, markiere die beiden Punkte und verbinde sie mit einer geraden Linie.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Zeichne den Graphen der linearen Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{2}{9}x - 2$ in ein Koordinatensystem.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zwei $x$-Werte schlau auswählen
Wir brauchen zwei Punkte. Als ersten Wert nehmen wir den einfachsten: $x = 0$ . Da in der Gleichung der Bruch $\frac{2}{9}$ steht, wählen wir als zweiten Wert die Zahl aus dem Nenner (unten im Bruch), also $x = 9$ . So verschwindet der Bruch beim Rechnen!
Schritt 2
Die $y$-Werte berechnen
Wir setzen die Werte in die Gleichung ein:

Für $x = 0$ : $f(0) = \frac{2}{9} \cdot 0 - 2$

$f(0) = 0 - 2 = -2$

Unser erster Punkt ist also $(0 \mid -2)$ .

Für $x = 9$ : $f(9) = \frac{2}{9} \cdot 9 - 2$

$f(9) = 2 - 2 = 0$

Unser zweiter Punkt ist also $(9 \mid 0)$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Punkte einzeichnen und verbinden
Wir zeichnen die beiden berechneten Punkte $(0 \mid -2)$ und $(9 \mid 0)$ in ein Koordinatensystem ein und verbinden sie mit einer geraden Linie.

Graph mit zwei Punkten

Ergebnis:

Der Graph der linearen Funktion ist eine Gerade, die exakt durch die beiden berechneten Punkte verläuft.

Quiz zu Lineare Funktionen zeichnen: Teste dein Wissen

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Quizfrage 1 zu Lineare Funktionen zeichnen

Wie liest man die Koordinaten eines Punktes $P(x \mid y)$ im Koordinatensystem ab?

Quizfrage 2 zu Lineare Funktionen zeichnen

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Wie viele Punkte müssen berechnet werden, um den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen?

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Wichtige Erkenntnisse

Um eine lineare Funktion zu zeichnen, musst du immer nur genau zwei Punkte berechnen.
Wähle als ersten Wert immer $x = 0$ , das macht die Rechnung sehr einfach.
Wenn der Funktionsterm einen Bruch enthält, wähle als zweiten $x$ -Wert die Zahl, die im Nenner (unten) steht. So kürzt sich der Bruch weg!

Lineare Funktionen zeichnen einfach erklärt: Graphen darstellen