Lineare Funktionen einfach erklärt: Steigung & Punktprobe

Lineare Funktionen sind das absolute Fundament der Mathematik – wer sie versteht, hat einen entscheidenden Vorteil in Prüfungen und beim Lösen von Textaufgaben. Stell sie dir wie die einfachsten Legosteine der Mathematik vor: Du lernst hier, wie man diese Steine erkennt und zusammensetzt. Das ist der schnellste Weg, um Graphen zu verstehen und in der nächsten Prüfung sicher Punkte zu holen. In diesem Artikel lernst du, wie du Steigung und y-Achsenabschnitt direkt aus der Funktionsgleichung abliest und wie du mit der Punktprobe überprüfst, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

• Funktionsgleichung: Eine Regel, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Man schreibt oft $f(x)$ statt $y$.

  • Beispiel: Bei $f(x) = x + 5$ wird der Zahl $x=3$ der Wert $f(3) = 3+5 = 8$ zugeordnet.

• Koordinatensystem: Ein System mit einer x-Achse (horizontal) und einer y-Achse (vertikal), um Punkte darzustellen.

  • Beispiel: Der Punkt $P(2|4)$ liegt 2 Einheiten rechts und 4 Einheiten oben vom Ursprung $(0|0)$.

• Brüche multiplizieren: Man multipliziert einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert.

  • Formel: $c \cdot \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{b}$
  • Beispiel: $5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$

Aufgabentyp 1: Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen

Jede lineare Funktion kann in der allgemeinen Form aufgeschrieben werden. Diese Form ist wie ein Bauplan, der uns alles Wichtige über die Funktion verrät.

Die allgemeine Form lautet:

$f(x) = mx + b$

• m steht für die Steigung. Sie gibt an, wie steil die Gerade ansteigt oder abfällt. Sie ist immer die Zahl, die mit dem x multipliziert wird.
• b steht für den y-Achsenabschnitt. Das ist der y-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Es ist immer die Zahl, die alleine steht (ohne x).

Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat immer die Koordinaten $S_y(0 | b)$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Funktionsgleichung ansehen: Stelle sicher, dass die Funktion in der Form $f(x) = \ldots$ vorliegt. Manchmal sind die Teile vertauscht, z. B. $f(x) = b + mx$. Das ist aber egal.
2. Steigung m identifizieren: Finde den Term mit dem $x$. Die Zahl, die vor dem $x$ steht (der Koeffizient), ist die Steigung m. Vergiss das Vorzeichen nicht!
3. y-Achsenabschnitt b identifizieren: Finde die Zahl, die ohne $x$ dasteht. Das ist der y-Achsenabschnitt b. Auch hier das Vorzeichen beachten.
4. Schnittpunkt mit der y-Achse angeben: Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer $S_y(0 | b)$. Setze einfach den Wert für $b$ ein, den du in Schritt 3 gefunden hast.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe)

Manchmal möchte man wissen, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, ohne ihn zeichnen zu müssen. Dafür gibt es die Punktprobe.

Die Idee ist einfach: Ein Punkt $P(x_p | y_p)$ liegt genau dann auf dem Graphen der Funktion $f$, wenn die y-Koordinate des Punktes gleich dem Funktionswert an der x-Koordinate ist.

Wir überprüfen also, ob diese Gleichung stimmt:

$y_p = f(x_p)$

Man setzt also die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein und schaut, ob die y-Koordinate des Punktes herauskommt.

• Wenn ja (wahre Aussage, z. B. $5=5$), liegt der Punkt auf der Geraden.
• Wenn nein (falsche Aussage, z. B. $5=7$), liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Punkt und Funktion notieren: Schreibe dir den gegebenen Punkt $P(x_p | y_p)$ und die Funktionsgleichung $f(x)$ auf.
2. x-Koordinate einsetzen: Nimm die x-Koordinate des Punktes und setze sie für jedes $x$ in die Funktionsgleichung ein. Berechne $f(x_p)$.
3. Ergebnis mit y-Koordinate vergleichen: Vergleiche das Ergebnis aus Schritt 2 mit der y-Koordinate des Punktes.
4. Antwort formulieren: Ist das Ergebnis gleich der y-Koordinate, schreibst du: „Der Punkt liegt auf dem Graphen." Ist das Ergebnis ungleich, schreibst du: „Der Punkt liegt nicht auf dem Graphen."

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $P(3|7)$ auf dem Graphen von $f(x) = 2x + 1$ liegt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Punkt und Funktion notieren

   Punkt: $P(3 | 7)$

   Funktion: $f(x) = 2x + 1$

2. 2
   Schritt 2
   x-Koordinate einsetzen

   Wir setzen $x = 3$ in die Funktion ein:

   $f(3) = 2 \cdot 3 + 1$

   $f(3) = 6 + 1 = 7$

3. 3
   Schritt 3
   Ergebnis mit y-Koordinate vergleichen

   Das Ergebnis der Rechnung ist 7. Die y-Koordinate des Punktes ist $7$.

   $7 = 7$

   Diese Aussage ist wahr.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

Ergebnis:

Der Punkt $P(3|7)$ liegt auf dem Graphen von $f(x)$.

Beispiel 2

Aufgabe

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Q(2|4)$ auf dem Graphen von $f(x) = -x + 5$ liegt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Punkt und Funktion notieren

   Punkt: $Q(2 | 4)$

   Funktion: $f(x) = -x + 5$

2. 2
   Schritt 2
   x-Koordinate einsetzen

   Wir setzen $x = 2$ in die Funktion ein:

   $f(2) = -(2) + 5$

   $f(2) = 3$

3. 3
   Schritt 3
   Ergebnis mit y-Koordinate vergleichen

   Das Ergebnis der Rechnung ist 3. Die y-Koordinate des Punktes ist $4$.

   $3 = 4$

   Diese Aussage ist falsch.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Antwort formulieren

Ergebnis:

Der Punkt $Q(2|4)$ liegt nicht auf dem Graphen von $f(x)$.

Wichtige Erkenntnisse

• Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist $f(x) = mx + b$.
• m ist die Steigung und immer die Zahl, die mit $x$ multipliziert wird.
• b ist der y-Achsenabschnitt und immer die Zahl, die alleine steht. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|b)$.
• Bei der Punktprobe für einen Punkt $P(x_p|y_p)$ setzt du $x_p$ in die Funktion ein und prüfst, ob $y_p$ herauskommt.