Was sind lineare Funktionen?

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = m · x + b , deren Graph eine gerade Linie ist. Das m steht für die Steigung und b für den y-Achsenabschnitt. Sie beschreibt ein gleichmäßiges Wachstum oder eine gleichmäßige Abnahme, ähnlich wie bei einem Taxitarif mit Grundgebühr und Kilometerpreis.

Wie liest man die Steigung und den y-Achsenabschnitt ab?

In der Funktionsgleichung f(x) = m · x + b ist m die Zahl, die direkt vor dem x steht (die Steigung). Die Zahl b , die ohne x steht, ist der y-Achsenabschnitt. Achte darauf, dass die Reihenfolge manchmal vertauscht sein kann — die Steigung gehört immer zum x .

Was ist die Punktprobe bei linearen Funktionen?

Mit der Punktprobe überprüfst du rechnerisch, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt. Dafür setzt du den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Wenn das berechnete Ergebnis genau dem y-Wert des Punktes entspricht, liegt der Punkt auf der Geraden.

Lineare Funktionen einfach erklärt

Stell dir vor, du steigst in ein Taxi. Schon bevor das Auto auch nur einen Meter gefahren ist, steht auf dem Taxameter ein Betrag: die Grundgebühr. Für jeden gefahrenen Kilometer kommt dann ein fester Betrag hinzu.

Genau dieses Prinzip beschreibt eine lineare Funktion. Sie ist wie eine Maschine, die einen Startwert hat und dann gleichmäßig wächst oder schrumpft. In diesem Artikel lernst du, wie diese Funktionen aufgebaut sind, wie du ihre wichtigsten Eigenschaften direkt ablesen kannst und wie du überprüfst, ob ein bestimmter Punkt auf ihrem Weg liegt.

Vorwissen

Proportionale Funktionen: Eine Funktion der Form $f(x) = m \cdot x$ . Ihr Graph ist eine Gerade, die genau durch den Ursprung $(0 \mid 0)$ verläuft.

Beispiel: $f(x) = 2x$ bedeutet, dass jeder $x$ -Wert verdoppelt wird.
Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt wird immer mit seiner $x$ -Koordinate und seiner $y$ -Koordinate angegeben: $P(x \mid y)$ .

Beispiel: Der Punkt $P(3 \mid 5)$ liegt $3$ Schritte nach rechts und $5$ Schritte nach oben.

Aufgabentyp 1: Ablesen von Steigung und y-Achsenabschnitt

Bisher kennst du proportionale Funktionen, die immer im Ursprung starten. Eine lineare Funktion ist ebenfalls eine gerade Linie, aber sie kann auf der $y$ -Achse weiter oben oder unten starten (wie die Grundgebühr beim Taxi).

Die allgemeine Formel einer linearen Funktion sieht so aus:

$f(x) = \textcolor{#08BFFF}{m} \cdot x + \textcolor{#9570FF}{b}$

Diese Formel besteht aus zwei wichtigen Bausteinen, die du direkt ablesen kannst:

Die Steigung m: Das ist die Zahl, die direkt mit dem $x$ malgenommen wird (der Vorfaktor). Sie gibt an, wie steil die Gerade nach oben oder unten verläuft.
Der y-Achsenabschnitt b: Das ist die alleinstehende Zahl (der konstante Term). Sie gibt an, wo die Gerade die $y$ -Achse schneidet. Das ist unser Startwert.

Achtung: Manchmal ist die Reihenfolge vertauscht, zum Beispiel $f(x) = \textcolor{#9570FF}{b} + \textcolor{#08BFFF}{m} \cdot x$ . Lass dich davon nicht verwirren! Die Steigung m klebt immer am $x$ , und der y-Achsenabschnitt b steht immer ohne $x$ da.

Da der y-Achsenabschnitt b genau der Punkt ist, an dem die Gerade die $y$ -Achse trifft, ist der $x$ -Wert dort immer $0$ . Wir können diesen Schnittpunkt also als Koordinate aufschreiben:

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0 \mid \textcolor{#9570FF}{b})$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gib von der linearen Funktion $f(x) = -2 + \frac{3}{7}x$ sowohl die Steigung als auch den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Steigung ablesen
Die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{m}$ ist die Zahl, die direkt vor dem $x$ steht.

$f(x) = -2 + \textcolor{#08BFFF}{\frac{3}{7}}x$

$\textcolor{#08BFFF}{m} = \textcolor{#08BFFF}{\frac{3}{7}}$
Schritt 2
y-Achsenabschnitt ablesen
Der $y$ -Achsenabschnitt $\textcolor{#9570FF}{b}$ ist die Zahl ohne $x$ .

$f(x) = \textcolor{#9570FF}{-2} + \frac{3}{7}x$

$\textcolor{#9570FF}{b} = \textcolor{#9570FF}{-2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Schnittpunkt angeben
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse hat immer die Form $(0 \mid \textcolor{#9570FF}{b})$ .

Ergebnis:

Die Funktion hat die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{\frac{3}{7}}$ und schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0 \mid \textcolor{#9570FF}{-2})$ .

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Quizfrage 1 zu Lineare Funktionen

Welchen Punkt durchquert der Graph einer proportionalen Funktion der Form $f(x) = m \cdot x$ laut Artikel immer?

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Wie lautet die Steigung der linearen Funktion $f(x) = 3 + 2 \cdot x$ ?

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Aufgabentyp 2: Die Punktprobe

Oft hast du einen bestimmten Punkt gegeben, zum Beispiel $P(\textcolor{#53E5D6}{3} \mid \textcolor{#FF7D57}{5})$ , und möchtest wissen, ob die Gerade der Funktion genau durch diesen Punkt verläuft.

Um das herauszufinden, musst du die Gerade nicht zeichnen. Du kannst es ganz einfach ausrechnen! Dieses Verfahren nennt man Punktprobe.

Die Logik dahinter ist simpel: Eine Funktionsgleichung ist wie eine strenge Regel. Wenn ein Punkt auf der Geraden liegt, müssen seine Koordinaten diese Regel perfekt erfüllen. Wenn wir also den $\textcolor{#53E5D6}{x}$ -Wert des Punktes in die Maschine (die Funktion) einwerfen, muss am Ende exakt der $\textcolor{#FF7D57}{y}$ -Wert des Punktes als Ergebnis herauskommen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Einsetzen: Nimm den $\textcolor{#53E5D6}{x}$ -Wert des gegebenen Punktes und setze ihn anstelle des $x$ in die Funktionsgleichung ein.
Ausrechnen: Rechne die rechte Seite der Gleichung Schritt für Schritt aus.
Vergleichen: Vergleiche dein Ergebnis mit dem $\textcolor{#FF7D57}{y}$ -Wert des Punktes. Ist das Ergebnis gleich dem $\textcolor{#FF7D57}{y}$ -Wert, liegt der Punkt auf dem Graphen. Ist es ungleich, liegt er nicht darauf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Überprüfe rechnerisch, welche der Punkte $P(8 \mid 2)$ und $Q(3{,}5 \mid 5{,}75)$ auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 8 - \frac{3}{4}x$ liegen.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Punktprobe für P(8 | 2)
Wir setzen den $x$ -Wert $\textcolor{#53E5D6}{8}$ in die Funktion ein und rechnen das Ergebnis aus:

$f(\textcolor{#53E5D6}{8}) = 8 - \frac{3}{4} \cdot \textcolor{#53E5D6}{8}$

$f(\textcolor{#53E5D6}{8}) = 8 - 6$

$f(\textcolor{#53E5D6}{8}) = 2$

Nun vergleichen wir unser Ergebnis ( $2$ ) mit dem $y$ -Wert des Punktes ( $\textcolor{#FF7D57}{2}$ ). Da $2 = \textcolor{#FF7D57}{2}$ eine wahre Aussage ist, liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen.
Schritt 2 · Ergebnis
Punktprobe für Q(3,5 | 5,75)
Wir setzen den $x$ -Wert $\textcolor{#53E5D6}{3{,}5}$ in die Funktion ein:

$f(\textcolor{#53E5D6}{3{,}5}) = 8 - \frac{3}{4} \cdot \textcolor{#53E5D6}{3{,}5}$

Wir rechnen den Bruch aus (Tipp: $\frac{3}{4} = 0{,}75$ ):

$f(\textcolor{#53E5D6}{3{,}5}) = 8 - 0{,}75 \cdot \textcolor{#53E5D6}{3{,}5}$

$f(\textcolor{#53E5D6}{3{,}5}) = 8 - 2{,}625$

$f(\textcolor{#53E5D6}{3{,}5}) = 5{,}375$

Nun vergleichen wir unser Ergebnis ( $5{,}375$ ) mit dem $y$ -Wert des Punktes ( $\textcolor{#FF7D57}{5{,}75}$ ). Da $5{,}375$ nicht das Gleiche ist wie $\textcolor{#FF7D57}{5{,}75}$ , ist die Aussage falsch.

Ergebnis:

Der Punkt $P(8 \mid 2)$ liegt auf dem Graphen der Funktion, der Punkt $Q(3{,}5 \mid 5{,}75)$ liegt nicht darauf.

Wichtige Erkenntnisse

Die Steigung $\textcolor{#08BFFF}{m}$ ist immer die Zahl, die mit dem $x$ multipliziert wird.
Der y-Achsenabschnitt $\textcolor{#9570FF}{b}$ ist immer die Zahl, die alleine steht.
Der Graph schneidet die $y$ -Achse immer im Punkt $(0 \mid \textcolor{#9570FF}{b})$ .
Punktprobe: Setze den $x$ -Wert eines Punktes in die Funktion ein. Wenn das ausgerechnete Ergebnis genau dem $y$ -Wert des Punktes entspricht, liegt der Punkt auf der Geraden.

Lineare Funktionen einfach erklärt: Steigung & Punktprobe