Ungleichungen im Sachkontext einfach erklärt: Textaufgaben

Stell dir vor, du planst eine Party. Du hast ein festes Budget von $50 \text{ Euro}$. Die Dekoration kostet einmalig $10 \text{ Euro}$, und für jeden Gast möchtest du Snacks für $4 \text{ Euro}$ kaufen. Wie viele Gäste kannst du einladen, ohne pleite zu gehen?

Im Alltag haben wir selten exakte Gleichungen. Meistens haben wir Grenzen: Wir wollen höchstens einen bestimmten Betrag ausgeben oder mindestens eine bestimmte Punktzahl erreichen.

Genau hier kommen lineare Ungleichungen ins Spiel. In diesem Thema lernst du, wie du solche Alltagssituationen in die Sprache der Mathematik übersetzt und löst!

Vorwissen

• Ungleichungen lösen: Du formst Ungleichungen genauso um wie normale Gleichungen (mit Äquivalenzumformungen).

  Beispiel: $2x + 5 > 15 \quad | -5 \implies 2x > 10 \quad | :2 \implies x > 5$

• Achtung beim Minuszeichen: Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie dividierst, dreht sich das Relationszeichen um.

  Beispiel: $-3x \leq 12 \quad | :(-3) \implies x \geq -4$

Aufgabentyp 1: Vom Text zur Ungleichung

Wenn du lineare Ungleichungen im Sachkontext lösen möchtest, ist der erste Schritt oft das Aufstellen der Ungleichung aus einer Textaufgabe. Um eine Textaufgabe zu lösen, müssen wir den deutschen Satz in eine mathematische Ungleichung übersetzen. Dabei helfen uns bestimmte Signalwörter.

Hier ist dein Wörterbuch für die Relationszeichen:

• $<$ (kleiner als): „weniger als“, „unter“
• $>$ (größer als): „mehr als“, „über“
• $\leq$ (kleiner oder gleich): „höchstens“, „maximal“, „nicht mehr als“
• $\geq$ (größer oder gleich): „mindestens“, „minimal“, „nicht weniger als“

Die meisten Alltagssituationen (wie Kosten oder Einnahmen) bestehen aus drei Bausteinen, die wir farblich markieren:

1. Einem festen Startwert (z.B. eine Grundgebühr).
2. Einem variablen Wert, der von einer Anzahl $x$ abhängt (z.B. Preis pro Stück).
3. Einer Grenze, die nicht über- oder unterschritten werden darf.

Ein kurzes Beispiel: Ein Streaming-Dienst kostet $\textcolor{#9570FF}{5 \text{ Euro}}$ Grundgebühr und $\textcolor{#08BFFF}{2 \text{ Euro}}$ pro geliehenem Film ($\textcolor{#08BFFF}{x}$). Du möchtest höchstens $\textcolor{#53E5D6}{15 \text{ Euro}}$ ausgeben.

Die passende Ungleichung sieht so aus:

$\textcolor{#9570FF}{5} + \textcolor{#08BFFF}{2x} \textcolor{#53E5D6}{\leq 15}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Variable definieren: Überlege dir, was gesucht ist, und nenne diese unbekannte Größe $x$ (z.B. Anzahl der Filme, Anzahl der Monate).
2. Ungleichung aufstellen: Suche im Text nach dem festen Wert, dem variablen Wert (der mit $x$ multipliziert wird) und dem Signalwort für das Relationszeichen. Setze alles zu einer Ungleichung zusammen.
3. Ungleichung lösen: Forme die Ungleichung nach $x$ um, genau wie du es bei normalen Gleichungen gelernt hast.
4. Antwortsatz formulieren: Übersetze dein mathematisches Ergebnis zurück in die Realität. Was bedeutet das Ergebnis für die Situation?

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Von der Ungleichung zum Text

Neben dem Aufstellen musst du bei Ungleichungen im Sachkontext oft auch den umgekehrten Weg gehen. Manchmal hast du bereits eine fertige Ungleichung gegeben und musst herausfinden, welche Geschichte dazu passt. Das ist wie das Entschlüsseln eines Geheimcodes.

Schauen wir uns die Ungleichung $\textcolor{#08BFFF}{3x} + \textcolor{#9570FF}{12} \textcolor{#53E5D6}{>} 60$ an. Wir zerlegen sie in ihre Einzelteile:

• Die Zahl ohne $x$ ($\textcolor{#9570FF}{12}$): Das ist immer etwas Einmaliges oder Festes. Zum Beispiel eine Grundgebühr, ein Startguthaben oder ein fester Rabatt.
• Die Zahl mit $x$ ($\textcolor{#08BFFF}{3x}$): Das ist etwas, das sich wiederholt. Das Wort „pro“ ist hier ein guter Hinweis (z.B. $3 \text{ Euro}$ pro Kilometer, $3$ Liter pro Minute).
• Das Relationszeichen ($\textcolor{#53E5D6}{>}$): Das Zeichen bedeutet „strikt größer als“. Im Text müssen also Wörter wie „mehr als“ oder „über“ vorkommen. Wörter wie „mindestens“ wären hier falsch, da sie $\geq$ bedeuten.

Wenn du diese drei Bausteine überprüfst, kannst du ganz leicht erkennen, ob eine Textbeschreibung zu einer Ungleichung passt.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Signalwörter sind der Schlüssel:

  • „mindestens“ $\to \geq$
  • „höchstens“ $\to \leq$
  • „mehr als“ $\to >$
  • „weniger als“ $\to <$

• Fester Wert vs. Variabler Wert: Die Zahl, die sich wiederholt (z.B. „pro Stück“), bekommt das $x$. Die einmalige Zahl (z.B. „Grundgebühr“) steht ohne $x$.

• Realitätscheck: Überprüfe am Ende immer, ob dein Ergebnis in der echten Welt Sinn ergibt (z.B. kann man keine halben Menschen berechnen).