Quantitative Analyse der Lorentzkraft einfach erklärt: Formel

Stell dir vor, du müsstest die Kraft eines unsichtbaren Magnetfelds wiegen. Klingt unmöglich? Ist es aber nicht!

In der Physik nutzen wir dafür einen cleveren Trick: Wir lassen eine magnetische Kraft gegen ein ganz normales Gewicht auf einer Wippe antreten. In dieser Lektion zur quantitativen Analyse der Lorentzkraft lernst du die sogenannte Stromwaage kennen. Du wirst sehen, wie man damit die unsichtbare Lorentzkraft messen kann und mit welcher einfachen Formel du sie in der nächsten Klausur fehlerfrei berechnest!

Vorwissen

• Das Hebelgesetz: Wenn eine Wippe im Gleichgewicht ist, gilt Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm. Formel: $F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$. Beispiel: Ein leichtes Kind kann ein schweres Kind auf einer Wippe in der Luft halten, wenn das leichte Kind weiter außen sitzt.
• Die Lorentzkraft (Grundlagen): Ein Draht, durch den Strom fließt, verhält sich wie ein Magnet. Ist er in einem äußeren Magnetfeld, spürt er eine Kraft. Beispiel: Ein stromdurchflossenes Kabel wird von einem starken Hufeisenmagneten angezogen oder abgestoßen.

Aufgabentyp 1: Lorentzkraft berechnen und messen

Um die quantitative Analyse der Lorentzkraft durchzuführen, nutzen Physiker eine Stromwaage. Das Prinzip ist wie bei einer Wippe auf dem Spielplatz.

Auf der einen Seite der Wippe hängt eine Drahtschleife in einem Magnetfeld. Wenn wir Strom einschalten, zieht die Lorentzkraft ($\textcolor{#08BFFF}{F_L}$) die Schleife nach unten. Die Wippe kippt.

Um die Wippe wieder waagerecht auszubalancieren, legen wir auf die andere Seite kleine Massestücke. Diese erzeugen eine nach unten gerichtete Gewichtskraft ($\textcolor{#CE5331}{F_G}$).

Weil die Wippe nun im Gleichgewicht ist, können wir das Hebelgesetz anwenden:

$a \cdot \textcolor{#CE5331}{F_G} = b \cdot \textcolor{#08BFFF}{F_L}$

Dabei ist $a$ der Abstand vom Drehpunkt zum Massestück und $b$ der Abstand vom Drehpunkt zur Drahtschleife. Da wir die Gewichtskraft und die Abstände kennen, können wir die unsichtbare Lorentzkraft exakt berechnen!

Mit der Stromwaage können wir systematisch testen, was die Lorentzkraft stärker oder schwächer macht. Dabei verändern wir immer nur eine einzige Sache und lassen den Rest gleich. Das nennt man „Isolierung von Variablen“.

• Die Stromstärke ($\textcolor{#9570FF}{I}$): Fließt doppelt so viel Strom durch den Draht, wird auch die Kraft doppelt so groß. Die Kraft ist direkt proportional zum Strom: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} \sim \textcolor{#9570FF}{I}$.
• Die Leiterlänge ($\textcolor{#53E5D6}{l}$): Befindet sich ein doppelt so langes Stück Draht innerhalb des Magnetfelds, verdoppelt sich die Kraft: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} \sim \textcolor{#53E5D6}{l}$.
• Die Magnetische Flussdichte ($\textcolor{#FFCE51}{B}$): Machen wir das Magnetfeld doppelt so stark, wird auch die Kraft doppelt so groß: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} \sim \textcolor{#FFCE51}{B}$.

Fassen wir diese drei Beobachtungen zusammen, erkennen wir: Die Lorentzkraft wächst gleichmäßig mit allen drei Größen. Es gilt also: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} \sim \textcolor{#9570FF}{I} \cdot \textcolor{#53E5D6}{l} \cdot \textcolor{#FFCE51}{B}$.

Aus unseren Experimenten können wir nun die finale Formel aufstellen. Wenn das Magnetfeld exakt senkrecht zum Draht verläuft, ist der Proportionalitätsfaktor genau 1. Das macht die Formel wunderbar einfach:

$\textcolor{#08BFFF}{F_L} = \textcolor{#9570FF}{I} \cdot \textcolor{#53E5D6}{l} \cdot \textcolor{#FFCE51}{B}$

• $\textcolor{#08BFFF}{F_L}$ ist die Lorentzkraft in Newton ($\text{N}$).
• $\textcolor{#9570FF}{I}$ ist die Stromstärke in Ampere ($\text{A}$).
• $\textcolor{#53E5D6}{l}$ ist die Länge des Drahtes im Magnetfeld in Metern ($\text{m}$).
• $\textcolor{#FFCE51}{B}$ ist die magnetische Flussdichte (die Stärke des Magnetfelds) in Tesla ($\text{T}$).

Wichtig: Diese einfache Formel gilt nur, wenn der Draht und das Magnetfeld einen rechten Winkel (90 Grad) zueinander bilden!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Notiere dir die gegebenen Werte und prüfe die Einheiten.
2. Stelle die Grundgleichung für die Lorentzkraft auf.
3. Setze die Werte mit Einheiten ein und rechne sie aus.
4. Überprüfe, ob das Endergebnis die Einheit Newton hat.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein gerader Draht befindet sich in einem homogenen Magnetfeld mit einer Flussdichte von $\textcolor{#FFCE51}{0.2 \text{ T}}$. Das Magnetfeld steht senkrecht zum Draht. Die Länge des Drahtstücks im Magnetfeld beträgt $\textcolor{#53E5D6}{5 \text{ cm}}$. Es fließt ein Strom von $\textcolor{#9570FF}{3 \text{ A}}$. Berechne die Lorentzkraft, die auf den Draht wirkt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Gegebene Werte notieren und Einheiten prüfen

   Gegeben: $\textcolor{#FFCE51}{B} = \textcolor{#FFCE51}{0.2 \text{ T}}$ $\textcolor{#9570FF}{I} = \textcolor{#9570FF}{3 \text{ A}}$ $\textcolor{#53E5D6}{l} = \textcolor{#53E5D6}{5 \text{ cm}}$. Wir müssen dies in Meter umwandeln: $\textcolor{#53E5D6}{l} = \textcolor{#53E5D6}{0.05 \text{ m}}$. Gesucht: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} = ?$

2. 2
   Schritt 2
   Formel aufstellen

   Da das Magnetfeld senkrecht zum Draht steht, nutzen wir: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} = \textcolor{#9570FF}{I} \cdot \textcolor{#53E5D6}{l} \cdot \textcolor{#FFCE51}{B}$

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Werte einsetzen und ausrechnen

   $\textcolor{#08BFFF}{F_L} = \textcolor{#9570FF}{3 \text{ A}} \cdot \textcolor{#53E5D6}{0.05 \text{ m}} \cdot \textcolor{#FFCE51}{0.2 \text{ T}}$ $= 0.15 \text{ A m} \cdot \textcolor{#FFCE51}{0.2 \text{ T}}$ $= \textcolor{#08BFFF}{0.03 \text{ N}}$

Ergebnis:

Die Lorentzkraft auf den Draht beträgt $\textcolor{#08BFFF}{0.03 \text{ N}}$. Realitätscheck: Die Einheit ist Newton ($\text{N}$), was für eine Kraft korrekt ist. Der Wert ist klein, was bei alltäglichen Strömen und Magneten typisch ist.

Beispiel 2

Aufgabe

In einem Experiment mit der Stromwaage wird die Wippe durch ein Massestück von $m = 0.5 \text{ g}$ im Gleichgewicht gehalten. Das Massestück liegt im Abstand von $a = 12 \text{ cm}$ vom Drehpunkt. Die Drahtschleife hängt im Abstand von $b = 6 \text{ cm}$ vom Drehpunkt. Berechne die Lorentzkraft $\textcolor{#08BFFF}{F_L}$, die auf die Drahtschleife wirkt. Nutze $g = 9.81 \text{ m/s}^{2}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Gewichtskraft berechnen

   Zuerst wandeln wir die Masse in Kilogramm um: $m = 0.5 \text{ g} = 0.0005 \text{ kg}$. Dann berechnen wir die Gewichtskraft ($\textcolor{#CE5331}{F_G}$): $\textcolor{#CE5331}{F_G} = m \cdot g$ $= 0.0005 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^{2}$ $= \textcolor{#CE5331}{0.004905 \text{ N}}$

2. 2
   Schritt 2
   Hebelgesetz aufstellen

   $a \cdot \textcolor{#CE5331}{F_G} = b \cdot \textcolor{#08BFFF}{F_L}$ Wir wandeln die Abstände in Meter um: $a = 0.12 \text{ m}$ und $b = 0.06 \text{ m}$.

3. 3
   Schritt 3 · Ergebnis
   Werte einsetzen und nach $F_L$ auflösen

   $0.12 \text{ m} \cdot \textcolor{#CE5331}{0.004905 \text{ N}} = 0.06 \text{ m} \cdot \textcolor{#08BFFF}{F_L}$ $0.0005886 \text{ N m} = 0.06 \text{ m} \cdot \textcolor{#08BFFF}{F_L}$ Wir teilen beide Seiten durch $0.06 \text{ m}$: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} = \frac{0.0005886 \text{ N m}}{0.06 \text{ m}}$ $= \textcolor{#08BFFF}{0.00981 \text{ N}}$

Ergebnis:

Die Lorentzkraft, die auf die Drahtschleife wirkt, beträgt $\textcolor{#08BFFF}{0.00981 \text{ N}}$. Realitätscheck: Die berechnete Lorentzkraft ist sehr klein (etwa $0.01 \text{ N}$), was logisch ist, da sie durch ein winziges Massestück von nur $0.5 \text{ g}$ ausbalanciert wird.

Wichtige Erkenntnisse

• Die Stromwaage nutzt das Hebelgesetz, um die magnetische Kraft mit einer bekannten Gewichtskraft auszubalancieren.
• Die Lorentzkraft ist direkt proportional zur Stromstärke, zur Leiterlänge und zur magnetischen Flussdichte.
• Wenn das Magnetfeld senkrecht zum Draht steht, gilt die Formel: $\textcolor{#08BFFF}{F_L} = \textcolor{#9570FF}{I} \cdot \textcolor{#53E5D6}{l} \cdot \textcolor{#FFCE51}{B}$.